SOUMIS AU POINÇONNAGE
Les déformations que le bloc éprouve par suite du passage du poinçon sont caractérisées d*une manière différente suivant les rapports de grandeur de / et de H.
Premier cas : H < /.
Par suite de chaque enfoncement partiel du poinçon , la portion sons^jacente du cylindre de rayon R^, dont la hauteur est A, et qui est tout entière dans la zone d'activité, se réduit de dh^ et son rayon R^ subit alors un accroissement (fR^ , qu il aurait été préférable sans doute de désigner par dr
La condition de Tinvariabilité du volume total donne alors [û^ gure 60)
2RidR,h^-B?ydh
et
R,dRi = rrfr,
pour exprimer séparément :
]® Que r^ugmentation de volume qui résulte de Taccroissement du rayon a la même valeur que la diminution de volume résultant de la diminution de hauteur;
2^ Que tout anneau élémentaire, extérieur au cylindre central, conserve le même volume en conservant la même section et la même hauteur.
En élitnibant dR^ et en intégrant ensuite , on obtient
^rdr dh
Hk
Si nous voulons obtenir la transformée de Tune des génératrices du cylindre extérieur du bloc, nous devrons faire , dans cette équation ,
r^ == R y Ao = H ,
et elle devient alors, entre r et A,
Cette équation est celle de la courbe IJ de la figure 60, inais^ elle ne doit être appliquée, dans chaque cas, que dans la
Figure 60.
zone comprise entre I et J, c*est-à-dire entre la face supérieure du bloc et la face inférieure du poinçon; au-dessous de cette face, le bloc reste cylindrique , et le rayon r de ce cylindre s'agrandit successivement, à mesure que la courbe IJ se prolonge par suite de renfoncement du poinçon, qui détermine successivement
TagrandiaseipeDi du diamètre du (Cylindre, dans toute sa zone inférieure.
La courbe I J est convexe par rapport aux axes oy et ox; elle a pour asymptote la droite ox de la base, mais elle s^éloigne trèslentement de la verticale du point I, ainsi qu^on peut le voir par un tracé.
Les considérations précédentes seraient encore applicables dans rbypotbèse de /—H, auquel cas la figure 61 suffit pour re-
Figure 61.
iT
"■- Rr ♦]
fl^G
♦ if 1
présenter les formes successives de la paroi jusqu à renfoncement complet du poinçon.
Nous nous proposons d^étudier séparément les transformations que subit le cylindre central; mais nous pouvons, dès à présent, indiquer que ces transformations nous seront connues dans chaque cas, si nous faisons, dans les différentes formules, R «= R|, ce qui, dans le cas particuli er qui nous occupe, donnerait
i^-=Rî(n-Iog'5).
Deuxième cas : H> / et < 2/.
Nous sommes amené à considérer cette nouvelle subdivision par suite des formes particulières auxquelles elle conduit pour Tune quelconque des génératrices du bloc primitif après la déformation.
Les deux équations fondamentales sont alors, en faisant re-
Figure 61.
marquer que les déformations - ont lieu sur toute la hauteur / (figure 63),
et, par suite,
^rdr dk
-Rî- — T"*
9fi. ÉCOULEMENT DES CORPS SOLIDES.
Pour appliquer cette relation aux différentes couches « nous ferons remarquer que :
1 ° Pour toute couche placée au-dessus du plan auquel est parvenue la face inférieure du poinçon, il suffit de faire
Ce qui donne
Rî""" l '
équation d^une parabole ABC dont Taxe est Taxe même du bloc, et dont l'ordonnée j du sommet, par rapport à Taxe horizontal, est
Si Ton fait R»=Ri dans Téquation précédente, on trouve, pour la transformée de la génératrice du cylindre central,
^2 psH— fc+Z r ==ni — j
2° Au-dessous de la face inférieure du poinçon , et à une distance de la face supérieiu*e du bloc moindre que l, la valeur précédente de rsera commune à toutes les courbes intermédiaires , et la transformée de la génératrice est alors représentée par la droite Cf.
3® Au-dessous de la face in/érieure du poinçon , et à une distance de la face supérieure plus grande que l, on fera
ro=R; K=y + l.
L^équation obtenue par cette substitution ,
"Tï? l *
est celle d'une parabole/^ oixfk'l, symétrique par rapport i la perpendiculaire élevée sur le milieu de Bf.
Pour la transformée du cylindre central , cette équation se ramène à
r =«Ki«^^ — j
Il résuite de ces indications que, quand le poinçon atteindra le plan situé à une distance / de la face inférieure du bloc, le profil AB sera disposé comme en ACfL L'équation de cette courbe // s'obtient en faisant, dans Téquation précédente, h^l, ce qui donne
« Si Ton enfonce davantage le poinçob , la droite Cf et la courbey''/
subiront de nouvelles modifications, que nous pourrons encore apprécier par les mêmes déductions (figure 63).
Figore63.
'1 Un
La verticale Cf se transformera seulement jusqu'au moment où le poinçon sera descendu de la hauteur U au niveau du pointy, et Ton obtiendra sa nouvelle équation delà manière suivante :
Puisque h est plus petit que l, la variation de r est réglée par Téquation (8)
Poinçonnage des niétaui. 1 3
dans; laquelle nous ferons ho = l et r^ =« R^ -f R? — i— (équation
Eliminant ri, nous aurons donc, pour équation de la transformée CJ,
H^^R^ + Rjîî^ + Rîlog'^-
Pour R = Ri, on trouve, pour Téquation de la transformée du cylindre central,
Le point J, qui a pour ordonnée H — /, sera facilement déterminé par la valeur de r correspondante :
L'équation de la transformée deflf pour des valeurs de h supérieures ou inférieures à H — /^ s^obtient de la manière suivante : f ^ L'équation de //, donnée page 7 1 3 , est
/^ = R^ + Rîf L*équation (8) donne, en faisant ho^l,
En éliminant rô entre ces deux équations, nous aurons, pour Téquation cherchée,
r^«R^4.S|^ + Rîlog'J.
Lorsque h est plus grand que H — l, cette équation représente la courbe//'; lorsque h est égal à H — /, la courbe J/" est représentée par
Lorsque h est plus petit que H — /, la courbe K^ est représentée par Téquation générale trouvée ci-dessus
EnGn, ii nous reste à considérer la courbe JK située au-dessous de la face inférieure du poinçon ; le point K ne cessant de se trouver à la fois dans le prolongement de la face inférieure du poinçon et sur la courbe K^, il suffira, pour obtenir Téquation de JK, de faire, dans la dernière équation, h^y; nous obtiendrons ainsi
r' = R»4-5p:4-Rîlogj.
Il est remarquable que les équations des courbes f l , j7 , Kf et JK ne contiennent pas la lettre H, et que, par suite, la forme de ces courbes ne dépende pas de la hauteur du bloc.
L'équation correspondante pour une des génératrices du cylindre central serait
Si le bloc avait une hauteur H égale à 3/, on se trouverait à la limite du cas précédent, et quand le poinçon serait arrivé au milieu de la course, les verticales observées enX^a, D^s (figure 64) auraient complètement disparu, et le profil serait formé de deux paraboles se rencontrant au point E.
Un enfoncement plus grand du poinçon transformera la courbe E/ en une autre courbe EL, déjà étudiée sous la même notation dans le cas où H==/,
Troisième cas : H>a/.
Dans ce troisième cas, les déformations passent par toutes les phases que le poinçonnage comporte et que nous avons déjà exa-
minées en détail dans les paragraphes précédents. Il suffira, par
Figure 64.
conséquent, de les rappeler successivement au moyen d'une figure d'ensemble qui les comprenne toutes.
i"* Pendant que le poinçon descend d'une quantité plus petite que /, son action s'exerce dans la partie de la hauteur du solide comprise dans la hauteur /, comptée à partir de l'extrémité du poinçon, ce qui conduit jusqu'à une hauteur 2/ à partir du som-met du bloc. On obtient ainsi (figure 65} la forme AE/\ identique à la forme AE/ de la figure précédente , et sur laquelle nous n avons aucune indication nouvelle à donner.
2^ Quand le poinçon passe de ia hauteur / à la hauteur H — /, la courbe E/ se déplace successivement et vient en G/> la partie
POINÇONNAGE DES MÉTAUX. lOl
EG de la paroi extérieure formant une ligne verticale égaie à
On comprend, en e£Pet, que tous les points de la paroi primitive qui sont situés dans cette zone, ayant été soumis successif
Figure 65.
vement à la totalité des influences qui correspondent aux ditférentes phases de la zone d'activité , ont dû être déplacés exactement de la même quantité, et que l'augmentation de diamèlre doit être , par conséquent, constante de E en G.
3® Enfin, quand le poinçon descend de la hauteur H — / à H, il détermine, en se rapprochant de la base inférieure du bolc,
Les mêmes déformations caractérisées déjà de E en K dans la figure précédente, déformations qui sont exprimées, dans la figure actuelle, par la courbe GL, qui a pour asymptote la ligne de base, comme celle que nous avons considérée en premier Heu.
La figure 66 indique collectivement toutes les modifications
Figure 66.
Tl
que subit le profil précédent de la paroi latérale du bloc pour chaque enfoncement du poinçon égal ^rt-
DÉTERMINATION DE LA TRANSFOnM^E DE LA GÉNÉRATRICE DU CYLINDRE CENTRAL.
L'équation qui nous a servi à déterminer les diverses déformations de la paroi extérieure du bloc nous a déjà foumî les même» indications pour le cylindre central, en y remplaçant B par jR,. Les différentes courbes seront respectivement de même espèce
Pigura 67.
que celles qui ont été déjà tracées, et nous pouvons immédiatement les représenter sur une figure générale de la génératrice intérieure.
Le contour ABCDEFGIJKL (figure 67) indique la forme que
lOA ÉCOULEMENT DES CORPS SOLIDES,
devrait prendre la génératrice extérieure , et la partie couverte de hachures horizontales représente la figure qu affecterait la partie du solide extérieure au cylindre central, d^une part en aX^ d autre part en çlX\ lorsque le poinçon est enfoncé seulement jusqu^en G. Il est évident que, dans chaque section horizontale, les rayons p et r des deux transformées devront satisfaire à la condition
Quant aux horizontales indiquées sur le dessin, elles sont chacune, et au même niveau, la représentation des lignes correspondantes de Tanneau extérieur au cylindre central dans le bloc primitif.
La condition précédente montre que ces longueurs ne peuvent être que raccourcies, quand elles n^ont pas conservé leurs dimensions primitives, comme dans les couches inférieures de la figure ÂaX.
Toute autre génératrice d^un cylindre concentrique, compris entre le cylindre extérieur et le cylindre central, subirait des modifications analogues, et son abscisse r^, après la déformation, serait toujours donnée, à une hauteur quelconque, en fonction de son rayon R' avant la déformation, par la relation
ra r'2=.R2-^R^ qui permet de calculer ou de construire R' lorsque Ton connaît R.
