THEORIE

DES DÉPLACEMENTS PRODUITS DANS LE POINÇONNAGE D'UN BLOC MAINTENU PAR UNE ENVELOPPE CYLINDRIQUE.

Nous avons déjà fait remarquer qu il se forme alors un jet cylindrique, ayant pour section Torifice annulaire compris entre le cylindre et le poinçon. Nous sommes donc dans des circonstances analogues à celles de l'écoulement par un orifice concentrique, tel que nous Tavons présenté en premier lieu, avec cette différence que le jet, au lieu d'être le prolongement du cylindre central, est, au contraire, le prolongement de Tanneau extérieur au cylindre central. Les mêmes hypothèses donneront, de la même façon, l'indication de toutes les transformées et des trajectoires; et si ces trajectoires sont brisées, comme dans le premier cas, il importe de faire remarquer que nous avons implicitement sup-

posé jusqu'ici qu'aucun point n'acquérait jamais une vitesse appréciable , circonstance dans laquelle le même point peut suivre sans difficulté une trajectoire mixtiligne.

Les calculs ne présenteront dès lors aucune difficulté spéciale; mais nous tenons à rappeler que les phénomènes qu'ils expriment doivent être considérés comme réversibles, c'est-^-dire que, si l'on calculait, à l'aide des mêmes hypothèses, au moyen de quelles transformations le jet pourrait rentrer dans le bloc au moyen d'une action en sens contraire, on retrouverait les formes primitives après la double transformation.

Cette réversibilité des phénomènes est sans doute déra*^ par l'influence des frottements , mais il semblerait que l'on pourrait en tirer parti pour isoler les seules déformations dues à cette cause, et acquérir, sur ses effets ainsi isolés, des données plus précisés.

En adoptant les mêmes notations que précédemment, nous considérerons un bloc cylindrique de hauteur primitive ho et de rayon R, et nous appliquerons concentriquement s sur ce bloc, un piston de rayon Ri; le jet aura lieu, comme nous venons de le voir, sous la forme d'un cylindre annulaire de rayon extérieur R et de rayon intérieur Rj.

Pour exprimer que la variation RjrfA du cylindre central est équivalente à un anneau de hauteur h, qui passe de l'intérieur à l'extérieur du cylindre central, nous écrirons comme précédemment

2RjrfRixA^ RjdA.

Quand le cylindre central sera réduit à une hauteur h, la longueur du jet sera l, mesurée à partir de la face inférieure du poinçon, et l'on aura simultanément

(R«-RÎ)/=RÎ(A.-A).

(R«-RÎ)d/=-RîdA,

pour exprimer la constance du volume total.

Poinçonnage des mvtaui. 30

 rextérieùr du cylindre central, mais seulement au-dessous du plan dans lequel se trouve , à un instant donné, Textrémité du poinçon , chacune des couches cylindriques que Ton peut concevoir dans Tanneau extérieur diminue nécessairement d'épaisseur pour laisser place à la matière provenant du cylindre central, à mesure qu'elle en est chassée par le poinçon; ces anneaux, qui avaient ime hauteur commune h, vont prendre une nouvelle hauteur h + dl, ce qui exprime que toute la matière chassée du cylindre central est représentée par une couche annulaire de hauteur dl. Il est ainsi démontré que, quand le poinçon parcourt un chemin — (2A, Tanneau extérieur s'allonge de dl, dans toute son épaisseur.

Si nous considérons un anneau de rayon extérieur R, de rayon intérieur r et de hauteur A, le volume de cet anneau devra rester ]e même quand r deviendra r+dr, h devenant en même temps h + dl, ce qui exige qUe la difierentielle de n (R^ — r^) h soit nulle, celle de h étant égale à dl.

On a, par cette considération, (R^ — r^) dl— 2rdrx A = o, et cette équation, combinée avec la précédente par voie de division, membre à membre, donne immédiatement

R* — r* 2rdrxh

R*-RÎ~" RMT"' ou

RJ dh 2rdr

W^^i T~~ iv^' '

et Ton obtiendra par intégration, en remarquant que, pour A «A^,,

|^.log'A=log'(R''-r«) + c,

Rî , ,fc , , R'-r'

ou, ce qui revient au même,

R'-Rî

Cette relation, qui ne contient plus que les variables h et r, indique, par la Valeur de r, la position de la verticale, d'abscisse primitive Ri, lorsque ie poinçon est arrivé à une hauteur h audessus de la base inférieure du bloc.

Cette équation n'est applicable que pour toute ordonnée moindre que A, et, au-dessus du niveau de la face inférieure du poinçon , la valeur de Tabscisse reste la même qu'au moment où le poinçon était à chacim des niveaux que ie point considéré occupait alors.

De la première équation, on tire

et, en mettant poiu* h sa valeur précédente,

R'-Rî

r . R-RH

F:rR^L ^«'^^î>' J

Cette équation, dans laquelle se trouve éliminée la variable h, est Téquation de la courbe qui forme la continuation de la transformée de la génératrice du cylindre central.

/ y est mesuré à partir de la face inférieure du bloc. Pour / = o,

on a , en effet, r= Rj , et pour 1= T,,Tn (^o — h), on retrouve , comme

vérification,

R'-Rî\P?^^;j R'-Rî

Ce qui conduit, pour r, à la valeur trouvée pour la transformée rectiligne de la génératrice du cylindre central primitif, en tous les points situés au-dessous du niveau de la face inférieure du poinçon.

Il n'est pas plus difficile de trouver les équations de la transformée d'une horizontale ou d'une verticale primitive.