TRANSFORMÉE D'UNE COUCHE HORIZONTALE
Si nous désignons par A l'ordonnée primitive d'une couche horizontale , il nous est facile de suivre les transformations qu'éprouvera cette couche , dans les différentes parties du solide.
1° A l'intérieur du cylindre central, toute couche horizontale reste horizontale, et toutes les ordonnées se raccourcissent proportionnellement.
On aura donc, à un instant quelconque,
pour déterminer la valeur y de la couche A , correspondant à une position finale du poinçon définie par l'ordonnée h.
3? A l'extérieur du cylindre central, mais au-dessous du niveau du poinçon, nous avons les trois équations suivantes, en désignant toujoiu's par y et par r les nouvelles coordonnées d'un point de la couche A, et en représentant par hi et ji les valeurs de h et de j au moment où ce point est venu se placer sur la paroi du cylindre central :
h, U"-Rîy
y,(R^-RÎ)=j(R2-r^)
et
Zi — ^ K A.'
La première de ces équations est celle de la transformée du cylindre central tel qu'il existe au moment où h est égal à Aj.
La deuxième exprime l'égalité de volume entre l'anneau extérieur au cyhndre central, mesuré jusqu'à la hauteur j^, et l'anneau transformé, au moment où le rayon du cylindre central est devenu r.
La troisième enfin indique que, jusqu'au moment où le point considéré est venu se placer sur le cylindre central , les ordonnées
^ et A ont conservé le même rapport que leurs valeurs primitives A et h„.
A l'aide de ces trois relatioas simultanées, on obtient facilement la relation finale
ftA / R'-r' NR-;
entre les variables^ et r, quand le poinçon est descendu jusqu'à une hauteur h.
3° A l'extérieur du cylindre central, mais au-dessus de la base du poinçon, la valeur de r reste ce qu'elle était pour y = h, ce qui réduit l'équation précédente k celle d'un cylindre concentrique, dont le rayon constant r se trouve ainsi déterminé par R' A / R'-^ NRî.
ce qui donne nécessairement r-=Ri pour A = Ao'
4° A l'extérieur de ta transformée du cylindre central primitif,
FigareSi.
la partie de notre couche d'ordonnée A, qui était tout d'abord dans l'anneau extérieur au cylindre central, n'a été soumise qu'à
des déplacements de même hauteur pour tous ses points; cette partie est donc restée horizontale , et la transformée complète de la courhe MM' se trouve ainsi représentée en Mx, M2, Ms, M4M/ (figure 81).
Pour connaître la position de M4M/, on pourrait, comme nous l'avons fait précédemment, exprimer que le volume ABCD est égal au volume AiBiCiDi, ce qui revient à
(Ao-A)(R»-RÎ) = J^(R«-/^)d/; mais on peut éviter le calcul de cette intégrale^, eu remarquant
' Ce calcul se ferait comme il suit :
R'-Rî
r R-Rî i
R'-Rî L* U*-Rîy J'
Ce qui conduit à
Rî
R'-r'-(R.-RÎ)(.-Z^î)5^î.
En substituant cette valeur, on trouve successivement
{A.-A) {R«-Rî)- jj (R'-r-ld/» j^ (R'-R?) (1 -i^î^) ^^'-'^îrft
-"«-«.•ii!M[.-.'^-]A
et, en intégrant le second membre de cette formule entre les limites indiquées.
. . / , R'-R'. \ R'-Rî
d'où
P0INÇ0f4^NAGË DES MÉTAUX. 159
que le poiot M4 est à l'intersection de la droite M, M», pour laquelle on a
A / R'-r' XRÎ
et de la- transformée de la partie supérieure de la génératrice du cylindre primitif, dont Téquation est
[R» - Rn U\'-Rî/ J
Cette valeur de / est comptée , ainsi que nous l'avons vu , à partir de l'extrémité du jet, et, par l'élimination du terme en r, qui est commun à ces deux équations, on trouve immédiatement
On aurait ainsi la valeur de Ai M/, et, si nos expériences étaient plus nombreuses pour ces sortes de poinçonnages, on pourrait comparer les diverses valeurs de / avec celles qui seraient mesurées sur Jes échantillons.
Celte vérification serait la contre-partie de celle à laquelle nous nous sommes livré pour les écoulements par un orifice central.
Nous pourrions de même déterminer la transformation d^une verticale quelconque et la trajectoire d'un point donné par ses coordonnées primitives; mais ce qui vient d'être dit suffît pour établir que ces questions sont absolument de même ordre que celles qui ont été traitées dans notre premier Mémoire.
