Lorsqu'on connaît l'équation

d'une courbe S, algébrique et du degré m, on peut facilement trouver l'équation de la courbe polaire réciproque S'.

En eflFet, soit /(x,y) =o l'équation de la courbe S', et a?, et y, les coordonnées d'un quelconque de ses points. La polaire de ce point a pour équation

Or cette polaire est tangente à la courbe S en un certain point dont les coordonnées sont x et y. Par conséquent l'équation de cette tangente

XF'.+ YF'y + ZF'^rrrO

représente la même droite que l'équation delà polaire, et l'on a

•^ On obtiendra l'équation de la courbe S\ en éliminant a: et y entre les deux équations que l'on vient d'écrire et l'équation de la courbe S.

50. — Nous savons qu'on appelle degré d'une courbe algébrique plane le nombre de points réels ou imaginaires suivant lesquels cette courbe peut être coupée par une droite. On appelle classe d'une courbe plane, le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu'on peut mener d'un même point à cette courbe, et nous avons vu au n* 34 que la classe d'une courbe algébrique de degré m est représentée, en général, par l'expression m{m — i).

46 UVK k. -r- CHAP, II.

6ti. — Deux courbçs polaires réciproques S et 8' (% 29) sont telles que la classe de chacune est égale au degré de l'autre. Soient, en effet, a,6,c,.,.lespointsoùladroitePcoupeIacourbe S;

les polaires A',B',G',....

de ces points sont tangentes à la courbe S' et passent toutes par le pôle p' de la droite P; on peut donc par ce pointp'meneràlacourbe S' un nombre, de tan- Pig. 29. gentes exactement égal

au nombre des points suiiramt lesquels la droite F coupe la courbe S.

Réciproquement le degré de la courbe S est égal à la classe de la courbe S', car, à chacune des tangentes A\B',C'... que Ton peut mener d'un point p' à la com'be S', correspond tm point de la courbe S, et ces poinlSi a, 6, Ct.... sont sur une même ligne droite P, puisque les tangentes A',B',G'... passent par un même point*

62. — L'expression générale que l'on a donnée (n» 5o) de la classe d'une courbe algébrique du degré m, montre que les courbes du second degré appartiennent à la seconde classe. II en résulte, d'après ce que nous venons de démontrer, que la courbe polaire réciproque d'une courbe du second degré e^re une courbe du second degré.

L'espèce de cette courbe dépend de la position de la ^eetkm

conique directrice. Si le centre ^*' (fig. 3o) de cette directrice est extérieur â la coûrf)e S, on pourra, du point 0, mener deax tangentes à cette courbe, et, tes pôles de ces tangentes étant rejetés à Tinfim, la courbe S" aura deux branches infinies, dans deux directi(ms dif-

Pig. 30.

THÉORIE DES IIÔLES ET SES POLAIBES. ft7

férentes, c'est-à-dire sera une hyperbole. D'ailleurs les p^ kires A' et B' des points a et 6 où les tangentes aO et 60 touchent la courbe S, sont tangentes à la courbe S' et la touchent aux points qui sont les pôles des droites etOetbO. Ces polaires sont donc les asymptotes de la courbe S'. Quand le centre est situé sur la courbe S, on ne peut plus mener de ce point à cette courbe qu'une seule tangœtQ ; les points de contact a et b coïncident avec le point 0, et leujrs polaires A',B' se confondent et sont rejetées à l'infini, de façon que la courbe S' devient une parabole. Enfin, lorsque le centre passe à l'intérieur de la com^be S, comme on ne peut mener de ce point à cette courbe aucune tangente réeUe, la courbe S' n'a aucun point àTinfini, ^, par suite, est une ellipse.

53. — Dans le cas particulier où la courbe directrice est un cercle de rayon r (fig. 3i), il est évident que la polaire Â' d'un

point quelconque a est perpendiculaire à la droite oa et, par suite, que les polaires A' et B' de deux points a et 6 font entre elles un angle égal à l'angle aob. D'ailleurs si l'on désigne par h les points de rencontre des droites A' oa^ pargf le 'point de ren- Fig. BU contre des droites B' ^t o&, on

peut voir facilement que l*on a

(t) 6héOa:=ogiob=^r^.

Gala posé, menons les droites œ et o^parall^ement aiu polaires B' et A', et lea droites aê et bf perpendiculairement [wx mômes poladres* Les triangles rectangles oae^ abf étant s«m- Uables^ nous aurons

oa oe __ ac + ce ae-^ôg

l^^Ff^bd + df^ bd + oh'

&8 d'où

UVRE 1. — CHAP. ir.

oa{bd + oh) = ob(ac + og)y

d'où encore, en tenant compte de l'équation (i),

oa.od=:ob.ac.

On peut écrire cette.demière égalité

oa ac ob bd^

et, sous cette forme, elle montre que les distances des deux points a et 6 au centre o sont proportionnelles aux distances de chacun de ces points à la polaire de l'autre.