RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS EN LIGNE DROITE
1. — On appelle rapport anharmonique de quatre points en ligne droite, le quotient du rapport des distances de deux quelconques de ces points au troisième, divisé par le rapport des distances de ces deux mêmes points au quatrième. Ces distances sont comptées à partir des premiers points et affectées du signe + ou du signe — suivant leur sens.
Soient a, 6, c, d (fig. i) quatre " ^ b c 'd points en ligne droite, le rapport
Fig. «.
ac ^ ad
bc' bd
2 iIVRE i. — CHAP. 1.
est un rapport anhanoomqae; 3 en esl de même des rapports
ad ^ ab cd' cÂ* aft ^ ac db'lc'
et des rapports inverses des trois précédents.
Il faut remarquer, dans l'expression de la distance de deux points, que l'interversion des lettres indique un changement de sens et correspond à un changement de signe. Ainsi
ce = — bc.
2. — Quand on connaît un des rapports anharmoniques de quatre points, on en peut déduire les deux autres. En effet, soient w, v, to, ces trois rapports, si on les exprime au moyen des trois longueurs
aA=p, (ic=q^ ad=r, on trouve
{p—r)q et si, partant de l'expression de u, on calcule i — u, oti arrive à
ce qui donne
résultat d'où l'on déduit, par permutation,
RAPPOIIT ANHARMONIQUii. S
Ces trois formules montrent que la connaissance d'un des rapports Uy Vy w entraînjç celle d^ deux autjres, et jl en résulte que, si deux systèmes de quatre points, situés sur deux lignes droites, ont un de ^eurs rapports anharmoniques £;ommun, ils ont tous les autres également communs.
3. — Si l'un des quatre points s'élœgne indéfiniment, chaque rapport anharmcmique se réduit au rapport des distances de deux des autres points au troisième, et Ton a
ac cb ab
bc ab ac
h. — Jusqu'ici Ton n'a considéré que des droites et des points réels; mais il est utile d'étendre ce qui précède aux droites et aux points imaginaires.
On sadt qu'à deux valeurs réelles de? coordonnées a; et y correspond un point réel; par analogie, on dit qu'à deux valeurs imagix^ires ^ içes ^QçordonAées, coirespoad un point imaginaire; et l'on appelle points imaginaires conjugués, ceux dont les abscisses, ainsi que les ordonnées, sont des quantités imaginaires conjuguées.
Une équation du premier degré
Aa?-f By-f C=o,
àcoei&ci^its réds, est vérifiée parles coordonnées d'une infinité de points réels, dont le lieu est une droite; mais elle est aussi vérifiée par une infimté de systèmes de valeurs imaginaires de x ^ de y? ^9 si l'on attribue à x deux valeurs imaginaires conjuguées, tes deux valeurs correspondantes dé y sont aussi conjuguées. On dit, en conséquence, que cette équation représente une droite réelle, et que cette droite contient une infinité de points imaginaires conjugués deux à deux.
Par analogie, on dit qu'une équation du premier degré, à coefiicients imaginaires, représente une droite imaginaire. 11 est à remarquer .qu'une telle drdte passe par un point réel. Soit,
à UVRE I. — GHAP. I.
en eflfet,
(A' + A"t)aî+(B'+B'ï)y+{C'+C"0=o, ou
(A'x + B'y + C') + t{A"jr + B''y + C")=o,
FéquatioD d'une droite imaginaire. Cette équation est vérifiée par les coordonnées du point d'intersection des deux droites réelles
A'^x + B'^y + C'^sso.
5. — Sur une droite réelle, on distingue deux directions; on peut faire la même distinction pour les dr(Htes imaginaires.
Soit
Aa? + By + C=o,
l'équation d'une àrdte, x^^ y^ les coordonnées d'un point de cette droite, on a
ou bien
g— ^o y— yo
et l'on peut supposa a'+ 6'= i; car, û cette égalité n'avait pas lieu, il suffirait, pour l'obtenir, de diviser a et b par un même Tacteur. Or, dans le cas d'une droite réelle, a et b sont les cosinus des angles de la droite avec les axes coordonnés, et ces cosinus changent de signe avec la direction que l'on considère, de telle sorte que les deux systèmes de valeurs a et 6, — a et — 6 , déterminent les deux directions de la droite. Pour les droites imaginaires, on dira de même que a et 6 déter*minent Tune des directions, et que — a et — 6 déterminent l'autre.
6, — On sait que, dans le cas d'une droite réelle, si a, et b
RAPiK>BT ANBARMONIQCE. 6
sont pris avec les signes qui conviennent à la direction suivant ^ / laquelle se compte la distance p,,^ du point
** ' ^otfo *^ P^"^^ ^ttfi (% 2), cette distance, avec son signe, est donnée par la formule
Pou-— ^^-— j—
Fig. «.
Il en sera de même pour la distance de deux points imaginaires appartenant à une droite réelle ou imaginaire, et il est évident que cette expression peut être prise pour définition de cette distance. On tirerait bien, de la formule précédente
PoM = =fc: v^laTi — jrp)«+(y,-yp)S
comme dans le cas de deux points réels; mais cette seconde expression a le désavantage de ne pas donner le signe de pp,^.
Les longueurs ima^naires s'ajoutent et se retranchent comme les longueurs réelles; ainsi
Po^î = Po»i + Pi*î-
Gela résulte immédiatement des expressions
x,~ayp y,— yp Pc,.-— ^ — ft— *
a?,~ar^ y,— y, Pi,,--— ;p--— j— ,
J7i — gp yi— yg
7. — La distance de deux points imaginaires étant définie ainsi en grandeur et en signe, les rapports anharmoniques de quatre points imaginaires en ligne droite se peuvent définir
oomioe cedx dé quàtfef points réels, et l'on Toit que
u Pfr>< . Po>$
PlM Pus
V = ^^ • P<>^' Pr» ' Pt>i*
^ __. Pon . Poj3 Ps»i * PsJi
soïït lès tëpipor^ àriha^îBfohîqttes des quatre points j?^ et y^,
La relation v = -, se démontreraît de la même façon
que pour des points réels.
JIAPPORT ANHARMONIQCE h'vlA FAISCEAU DE QUATRE DROITES PASSANT PAR UN MÊME POINT.
8, —Soient OA, OB, OC, OD (fig. 3), un système de quatre 0^ droites issues d*un même point 0. Cou-
pons-les par une sécante a, 6, c, d. Il est facile de voir que le rapport anharmonique
, -^x X ao ad
Fig. 3.
est constant, c'est-à;-Giire indépendant de la position de la sécante.
Pour le démontrer, menons Oh perpendiculaire à ofc; puisque chacune des expressions acxOli^ OaxOcxsin AOC, représente le double de Taire du triangle aOc, on a
ac X OA = Oa X Oc X sin AOC,
d'où
OaxOcXsih AOC
"^= ôÂ •
RXpMÏRT ANHAItMOKIQtJE, 7
De cette expression, et de celles qu'en ^ déduit pour 6e, ad, 5d, on tire
ajc^ad Oa.Oc.Ob.Od sia AOC . siaAOD ^ bc' bd^ Ob.Oc.Oa.Od * sia BOC ' sia BOD' ou
oc ^ ad sin AOC ^ sin AOD ^
te • W "" sin BOC • ^ BOD'
ce qui démontre la proposition.
Ce rapport
ou
œ ^ ad k'^Id'
sin AOC sin AOD
sin BOC * sin BOD
est l'un des Iroîs rapports anharmonîques du faisceau.
Dans VeîçpVessîôn de ce rapport les angles sont pris avec le signe + ou le signe — suivant le sens dans lequel ils sont
comptés.
9. — Proposons-nous maintenant de trouver l'expression analytique de ces rapports, lorsque les droites sont données par
Ipiira iS^rniQtînng
leurs équations.
Soient
les équations des deux premières droites; on peut mettre celles des deux autres sous la forme
Mais l'équation d'une droite peut toujours s'écrire
8 LIVRE !• — CHAP. h
a eib satisfaisant à la concUtion
et alors le premier membre
ax +fty— p=«
est la distance du point x^y du plan à cette droite, distance prise avec le signe — ou le signe + suivant que le point et l'origine sont du même côté ou bien de part et d'autte de la droite.
Soient donc
Considérons un point M, (^,y), de la droite OC, et abaissons de ce point une perpendiculaire MP sur OA, et une perpendiculaire MQ sur OB, on aura
on en conclura
et comme
MP sinAOC MQ""sinBOCV
sin AOC a An
sin BOC "" p "^ Bm
Mais le point M appartenant à la ligne OC, on a
d'où
sin AOC * ^ sin BOC "^ m'
RAPPORT ANHARUONIQUE. 9
On arriverait de même à réalité
sin AOD y n sinBOD"" m'
et il en résulte que le rapport anharmonique cherché est égal à
