Si
sont les équations de deux droites passant par le point 0» mais n'appartenant pas au faisceau, les équations des droites du fsdsceau sont de la forme
Or, si nous posons
a — *,p = ot',
ce qui donne
tt' — p'
P = ï; — F' les équations des deux dernières droites deviennent
et alors les quatre droites du faisceau ont «des èqi^Mîonâ ide la forme
Il en résulte que nous pouvons appliquer le résultat trouvé précédemment fn* 8) pour obtenir l'expression du rapport anharmonique. Nous trouvons ainsi que ce rapport est
11. — Tout ce qui précède suppose le faisceau e&mposé de droites réelles; voici une démonstration plus générale qui s'applique aux faisceaux imaginaires.
Prenons pour origine le point 0, ce qui signifie, si ce point est imaginaire, que l'on pose x = x^'\- x'y y = y^ + y', et qu'on substitue les valeurs qu'on vient d*écrire dans les équations des quatre droites.
Soient alors
ou
ûo* + *oy = o^
l'équation de la première droite, et
ar y
X ^ y^ — ft, a/
RâPPOKT A1«BA«1I01HQ6E. 11
les éqiwtioQs des autres droites. Od peut f supposer
Gela fait, soit
mx+ny — /) = o
une équation dont les coefQ<»ents m et n sa^font & la rela^tion m*+n* = i, et gui représente une sécante ooupant les droites du fûsceau aux points a?, et y,, x, et y^, x^ et y,, x, et y,. Si l'on désigne par l^, I,, {, les distances respectives de ces points an point 0, on a
J^ — ïi — i
et si l'on cherche l'expression de la distance p,,, du point x,,y, au point â;,,y,, on trouve
ou bien
On trouveitùt de même
taA-~M»)M.
Po*«
De ces expressions» on déduit que le rapport Enharmonique cherché est
On voit que cette valeur est indépendante de la position de la sécante, et que, lorsque toutes les droites sont réelles, elle n'est autre chose que
sin AOC ^ sin AOD sin BOC • sin BOD*
12. — Dans le cas d'un faisceau réel, nous avons trouvé que le rapport anharmonique est égal à p, lorsque les quatre droites ont pour équations ^
On trouve la même expression dans le cas d'un faisceau imaginaire* Soient, en effet,
a = aoX + 6^— Po=o,
« — *P = K — *«i)^ + {*o — **i)y— (Po — *Pi)=o»
les équations des droites*
En transportant l'origine au point de concours de ces droites, on ne change pas les coefficients de x et de y dans leurs équations; par conséquent, l'expresâon du rapport anharmonique
RAPPOBT ÀNHARMONIQUE. 13
du faisceau est, d'après ce qui précède (n* 1 1),
«i(*o-**i)-6i(«o-*«t) • «i(6i-*'*i)-*iK-*'«i)'
expression qiû, par la suppression des facteurs communs aux deux termes de chaque rapport, se réduit à
k L'expression
k se déduisant de la précédente p , dans le cas d'un faisceau
réel, par des calculs purement algébriques, s'étend, sans modification, au cas d'un faisceau imaginaire.
