CHAPITRE UL
OOORDOIIIIÉKS f ANCBUVIISUM.
66. — On peut regarder une courbe soit comme le lîeu d*un point, soit comme PenTeloppe d'une droite mobile. Or toute droite peut être représentée par Téguation px + qy = i; comme à toute couple de valeurs de p et g correspond une droite et une seule, on peut dire que p et g sont les coordonnées de cette droite; et si Ton donne entre p et g une relation ftp^q) = o, lorsque Fune de ces coordonnées variera d'une manière continue, l'autre variant aussi d'ime manière continue, la droite se déplacera dans son plan et enveloppera une courbe ayant pour équation, dans ce système de coordonnées,
Les quantités p et g, prises ainsi pour coordonnées^ ont été appelées coordonnées tangentielles*
Lorsque le premier membre ^(p,g) de l'équation précédente est algébrique, son degré représente la classe de la courbe.
En effet, si x^ et y^ sont les coordonnées d*un point quelconque du plan, on pourra mener à la courbe, par ce points autant de tangentes réelles ou imaginaires qu'il y aura de couples de valeurs de p et g satisfaisant simultanément aux deux équations
- fiPy9) = o, px.+ qyo—i=o.
DES gÔoRDONNÉBS. U
67« -« Une équation du premier degré entre p et 9, Âp-fB^^G,
représente le point ayant pour coordonnées x = ^^ y = k » ^^
elle exprime que la droite qui a pour équation px + qy=: i passe par ce point. Réciproquement, un point est représenté, en coordonnées tangentielles, par une équation du premier degré entre les coordonnées.
On voit que cette équation renferme deux coeflScients ou paramètres arbitraires. Quand on la met sôtis Is forme q=ap+b^ ces deux paramètres sont a et &.
88^ — On peut tromer facUémoit réqoaticm gèBérate des pmntd appartenant à une droite doonde. CkmmdéroM, en effet, Féqaation d'un point quelconque
pour que ce point appartienne k la droite qui a pour coordonnées p' et q\ il faut que p' et ç' vérifient l'équation du point, c'est-à-dire que l'on ait
Cette relation entre les deux paramètres a et 6 détermine Tun d'eux en fonction de l'autre, par exemple b en fonction de a; si l'cflu ^mine è œtre les àeux équations précédentes, on obtient l'équation
qui renferme un paramètre arbitraire a, et qui représente tous les points situés sur la droite (p',g'). Quand on fait varier a, le point décrit cette droite.
69. — Le point d'intersection de deux droites données (p',î% {p'\q") , appartenant à la preioaîèrè de ces droites, est représentée par une équation de la forme
q—^=^a{p — if)>
62 LIVRE I. — GHAP. m.
et, puisqu'il appartient à la seconde, les coordonnées p",^'^ satisfont à la relation
£n éliminant a entre les deux équations que nous venons d'écrire, on obtient l'équation
qui représente le point d'intersection des deux droites données.
60. — Soient a = o, p = o deux équations du premier degré en p et 9, équations qui représentent deia points donnés, l'équation générale des points de la droite qui joint ces deux points donnés est
k étant un paramètre arbitraire.
En effet, cette équation, étant du premier degré, représente un point, et ce point est sur la droite qui joint les points donnés puisque les coordonnées de cette droite, satisfaisant séparément aux équations a=:o, p=o, satisfont à l'équation a — ^=0*
61. — Le point de contact de la tangente (p',g') à la courbe /(p,5) = 0, n'est autre chose que la limite du point d'intersection de cette tangente avec la tangente voisine (p' + Ap't 4 + 1^4) ; donc il est représenté par l'équation (n* 58)
î-.î'=(jim^)(p-pO, ou bien, puisque
lim^ = D,rî'=-^',
par
DES COOBDONN^ES. 53
£n chassant les dénominateurs, cette équation devient
(P-pOr,.+(?-î')A' = o,
écpiation analogue à celle de la tangente en coordonnées rectilignes; et, si Ton introduit une troisième coordonnée r,de façon à rendre la fonction /*(p,g) homogène par rapport à p, ç, r, l'équation du point de contact se met sous la forme
Lorsque la courbe est du second degré, si p' et 9', au lieu d'être les coordonnées d'une tangente, sont les coordonnées d'une droite quelconque, l'équation
pA' + ?/V + ^A'=o
représente le pôle de cette droite.
62. — La théorie des coordonnées tangentielles se ramène à celle des figures polaires réciproques.
Soit, en effet, f{p^q) = o, l'équation en coordonnées tangentielles d'une courbe donnée S. Chaque couple de valeurs de p et q qui vérifient cette équation représente une tangente A qui a pour équation, en coordonnées rectilignes, px+qy — 1 = 0. Or, prenons le cercle ayant pour équation a?*+y* — 1 = et considérons le pôle a' de A par rapport à ce cercle; œ^ et y^, étant les coordonnées du point a\ la polaire de ce point a pour équation «op^ + Wo — 1 = 0; et, puisque cette polaire n'est autre chose que la tangente A, on a «o =P» y© = 5» ^^ sorte que l'équation
fi^o , yo) = o
représente le lieu du point a', c'est-à-dire la courbe S', polaire réciproque de la courbe proposée S.
Donc, l'équation f{p,q) = o représente, en coordonnées rectilignes, la polaire réciproque de la courbe qu'elle représente en coordonnées tangentielles. Cette considération permet, étant
5& LIYltE I. --«• CHAP. 111.
donnée Té^uation d'une courbe en coordonnées tangentielles, de trouver l'équation de cette même courbe en coordonnées rectilignes.
GÉNÉRAUSATION DISS COOKDONNÉiSS RECTILIGNES.
63. — Soient a, p, y» ^^^^^ polynômes du premier degrés savoir :
ot=Aa;4-By + C,
et considérons les trois droites
Un point quelconque du plan peut être regardé comme Tlntenection de deux droites a = «y» P ^ *Y» ®^* comme à chaque couple de valeurs de a et de 6 correspond un point et un seul, les quantités a et ft peuvent être regai»dées comme les coordoti* nées du point.
Voyons ce que devient l'équation f{x^y) 1= o d'une courbe, dans ce nouveau système de coordonnées. En remplaçant, dans les équatioqs a a» «y, p a?= fty» <*»P*Y P*^ ^^^^ valeurs en fonction de êà et y, on obtient deux équations entre a?, y, û et 6, â*oà Ton tire
CV—Ba + (C'B'^— »C> + (BC^— CW^b ^ ■" AB' — BA'+ (A'B"— B'A> + (BA"— AB'O*'
CA^ — Ac + (C'A^ -- k'cy + {kcr — tk') b
y ~ AB'^ BA'+ (A'B^— b^À^Oû f (bA*^- A#)ô'
Ces valetu-s de a; et y sont des fractions rationnelles dont les deux termes sont du premier degré en a et 6 ; il en résulte que, si on
DES OWRDONlIÊfei* 65
1m jporte datiè Téquation A^^V) ^ <»^ oti m>ttVerâ^ pour i^ept-ésent^ la courbe dans te nouveau système de eoordonûéeë^ une équation f{a,b) ss o doAt le premier membre, mis sous forme entière I est, par rapport aux variables, de même degré que
Il fautf à la vérité, pour que cette transformation soit possible, que le dénominateur des valeurs de or et de y ne soit pas nul pour toutes valeurs de a et de 6 , c'est4i«dire que Ton n'ait pas, à la foîsi
AB' — BA' = o, A'B" — B'A" = o, A^B — B"A =o;
m£us il suflBt, pour que cette condition soit remplie, que les trois droites a = o, ^ = o, ^7=0, ne soient pas parallèles entre elles.
Si, dans l'équation entre a et 6, on remplace a par ~ et 6
par -, on obtient une équation homogène en a, ^, -y.
64. — Ces nouvelles coordonnées rectilignes sont susceptibles d'une interprétation géométrique simple. Considérons, en effet, un point quelconque, ayant pour coordonnées ordinaires x^ et y^. Lorsque nous remplacerons, dans a, p, y» tes variables x et y par x^^ et y^, nous obtiendrons des quantités proportionnelles aux distances du point considéré aux droites a = o , P = o, Yf^oi Gela nous montre que lorsque^ pour déterminer la posi^ tion d'un point, on en donne les trois coordonnées a, p, y, on fait connaître! k des facteurs constants près, les distantes de ce point aux trois droites a=o, p=o,Y=o, et que, lorsqu'on donne les deux coordonnées a et 6 , on fait connaître, toujours à des facteurs constants près^ le rapport des distances du point considéré aux droites a = o et y= o et le rapport des distances de ce même point aux droites p = o et y = o.
66 LIVRE h — CHAP. m.
Si l'on faisait en sorte, ce qui est toujours possible, que, dans chacune des équations a = o, p=o, 7 = 0, la somme des carrés des coefficients de a; et de y fût égale à l'unité, tous les facteurs constants dont nous venons de parler deviendraient égaux à l'unité, et les coordonnées a, p, y» ^ ^t *» au lieu d'être proportionnelles, les unes aux distances du point aux droites, les autres aux rapports de ces distances, seraient précisément égales, les unes à ces distances, les autres à ces rapports.
65» — Ces remarques sur la signification géométrique des coordonnées a et 6 permettent de démontrer facilement le théorème dont nous avons déjà donné une démonstration (n* 3i). Soient, en effet, a et 6 les coordonnées d'un point (fig. 33) , et a=:o, p=o, Y = o les équations des côtés BG, CA et AB du triangle ABC. Supposons que, dans chacune de ces équations la somme des carrés des coefficients de x et de y soit égale à l'unité. Nous aurons
et
tt ECsmC ^■"t^EAsmA'
p DCsînC t"^DBsinB'
a'«FBsinB 3""p"'FA6inA'
^ .j i.x v.A «t FBsinB , ^-
Or, SI, dans 1 égalité -= p,. . . , nous remplaçons a et 6 par
EGsinG DCânC . ^ leurs valeurs g^^^ et jj^^^^, nous trouvons
EGsinG
EAsinA FBsinB DCsinC "~ FAsinA' DB sin B
