PROPRIÉTÉS DES FIGURES HOHOLOGIQDES
126. — Cherchons ce que deviennent les formules de transformation. Prenons pour triangle des axes deux droites quelconques passant par le centre d'homologie, puis Taxe d'homologie. Ce triangle est double; il est évident d'ailleurs qu'une droite quelconque passant par se correspond à elle-même. Cette propriété va nous permettre de modifier les formules.
Soit en effet,
1 — Ap = 0,
l'équation d'une droite passant par le centre d'homologie. D'après les formules de transformation
l'équation de la droite correspondante sera ao! — kb^' = ,
qui ne peut être identique à la première que si a = 6. Les forniules à6 transformation se réduisent donc à
elles ne contiennent plus qu'un paramètre au lieu de deux.
Deux droites homologues se coupent sur l'axe, car leurs équations ne diffèrent que par les termes en 7.
Iliéorèiiie I.
127. A deux points pris à volonté dans la première figure^ on peut faire correspondre deux points pris à volonté dans la seconde.
En effet, soient a, a' 6, 6' les points donnés dans les deux figures (fig. 70 )• La droite a a' se correspond à elle-même; donc elle passe par le centre d'homologie. On peut en dire autant de la droite bb'; par conséquent, le centre d'homologie est le point de rencontre de ces deux droites. Cela posé, il est évident que Fintersection h des droites a6, a'b' est sur Taxe
Fig. 70.
DE l'homologie. 127
d'homologie. Maintenant on pourra prendre pour axe d'homologie une droite quelconque passant par le point h. Donc à deux points quelconques, on peut faire correspondre deux points quelconques.
Remarques, â trois points arbitraires on ne peut pas, en gé* néral, faire correspondre trois points arbitraires, car si c est un troisième point de la première figure, le point qui lui correspondra dans la seconde sera toujours situé sur la droite oc, quel que soit Taxe d'homologie. On peut d'ailleurs l'y prendre à volonté. Dans ce cas, trois points de la seconde figure correspondent à trois points de la première, et le centre et l'axe d'homologie sont déterminés : on voit en effet que les droites 6c , b'c' déterminent par leur intersection un second point de Taxe.
On peut encore remarquer que les triangles a6c, o'ftV ont leurs sonunets sur trois droites issues d'un même point, ce qui fournit un théorème de géométrie élémentaire : 0^<^nd deux triangles sont tels que les droites qui joignent leurs sommets homologuas sont concourantes, les intersections des côtés homologues sont en ligne droite.
Tliéorènie II.
128. — A deux droites prises à volonté dans la première figure, on peut faire correspondre deux droites prises à volonté dans la deuxième.
Soient A et B deux droites de la première figure. A' et B'
deux droites de la seconde (fig. 71).
Les droites A et A', B et B' se rencontrent aux points ft et i; la droite hl est Taxe d'homologie. Au point a d'intersection des droites A et B correspond d'ailleurs le point a' d'intersection des droites A' etB'; ^^^* '* • donc la droite aa' passe par le centre
123 UYRE 11. — CHAP. II.
d'homologie. On pourra prendre à volonté le centre d'homologie sur cette droite. Ainsi à deux droites quelconques prises dans Tune des figures on peut faire correspondre deux droites quelconques prises dans l'autre.
Remarque. A trois droites arbitraires, on ne peut en général fsdre correspondre trois droites arbitraires. Ayant fait correspondre les droites A' et B' aux droites A et B, je ne puis faire correspondre à une droite G quelconque une droite G', à moins que ces deux droites ne se coupent sur Taxe d'homologie. En supposant que cela ait lieu, on voit que le centre d'homologie est déterminé.
La manière dont ce point est déterminé fournit encore un théorème de géométrie élémentaire, qui n*est autre que la réciproque du théorème précédent.
Tliéorèiiie m.
129. — Les rapports des distances de deux points homologues à Vaxe d*homologie et à une droite double sont proportionnels. Soient m, m' deux points homologues, o et ab le centre et Taxe d'homologie (fig. 72). Les formules de transformation sont
Fig. 7t.
Or la droite am! correspond à la droite am, dont l'équation est
k étant le rapport des perpendiculaires abaissées du point m sur oa et ab. De même k' dans l'équation de la droite am!
DE LHOMOLOGIE.
représente le rapport des perpendiculaires abaissées dtî m* sur les mêmes droites. Gomme on a
on voit que
K = kc,
ce qui démontre le théorème.
130. — Deux coniques données arbitrairement dans le plan sont homologiques de douze manières différentes.
Soient S et S' deux coniques quelconques; je les rapporte à deux tangentes  et B et à l'une quelconque des deux sécantes communes ab et cdy qui vont concourir au point de rencontre des droites de contact pç, pY (fig. 73).
Les deux coniques ont pour équations
(i) ap — (aa + ép + CY)*=:o, (a) ap— (a'a + 6'p + c'T)* = o.
Fiic. 73. Les sécantes communes ab et cd sont
représentées par les équations
Pour que Tune d'elles coïncide avec la droite y = o , il faut que l'on ait a = a', b = V. Les équations des coniques deviennent ainsi
af — (aa + ip + CT)* = o, ,p(«gt + 6p + c'T)»=:o,
ISÔ tlVflB II* — CHAP. II.
et Dit t)as8€! de Ttitie à l'autre à Taide des formules
Donc les deux coniques sont homologiques; le point de rencontre o de deux tangentes communes A et B est le centre d'homologie; Tune des sécantes communes ab et cd est Taxe d'homologie. - .
Les quatre tangentes communes se coupent deux à deux en six points; à chacun d'eux correspondent deuxj axes d'homologie. On peut donc établir de douze manières différentes Thomologie des deux coniques.
131. — GoROUAiRE I. Si Von mène une sécante par le point o, elle coupe les deux coniques en quatre points m, m' et m^ , m', qui sont homologiques deux à deux.
Les tangentes en ces points sont des droites homologiques, car elles se coupent sur Taxe.
La correspondance qui existe entre ces points n'est pas arbitraire, comme on le voit facilement; elle est déterminée par la condition que la sécante venant à tourner autour du point o , deux points correspondants viennent se confondre simultanément avec les points doubles a, b de l'axe.
Corollaire II. — Deux coniques tangentes l'une à l'autre sont homologiques, et leur point de contact est le centre d'homologie.
