APPLICATIONS DE L*H0M0L0G1E

1* Considérons une conique S et un cercle tangent en (fig. 74). Ces deux courbes sont homologiques, et est le centre d'homologie. Par le point menons deux rayons oa, ob faisant un angle constant; on sait que la corde ab enveloppe un cercle concentrique au premier; donc la coràea'6' enveloppe une conique

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doublement tangente à la proposée suivant une parallèle à Taxe d'homologie; car il est facile de voir qu'à Tinfini correspond une droite parallèle à Taxe d'homologîe.

2* Deux coniques qui ont un foyer commun peuvent être regardées comme homologiques, car ce point n'est autre chose que le point de concours de deux tangentes imaginaires. Le foyer est ainsi le centre d'homologie. On peut appliquer à ces coniques le théorème précédent.

Il y a dans ce cas deux axes d'homologie, d'où deux modes différents de correspondance. Considérons, par exemple, une ellipse et une hyperbole S et S' ayant un foyer commun; les deux axes d'homologie sont les sécantes communes qui passent par le point d'intersion des directrices.

138. Deux figures planes homographiques peuvent être placées de manière à être homologiques.

Changeons d'abord la position relative des deux figures de façon à rendre parallèles les droites I et J' qui, dans chacune, correspondent à l'infini de l'autre. A des droites de la première figure se coupant en e correspondent des droites parallèles de la seconde; je mène E^ parallèle à ces droites de la seconde figure et par conséquent & celle qui lui correspond E'. De môme, par uii second point f de la droite I, je mène la droite F qui est parallèle à sa correspondante F de la seconde figinre. Les droites E et F se coupent en o, les droites E' et F' en o'; je déplace la seconde figure de manière à faire coïncider la droite E' avec la droite E, et la droite F' avec la droite F, ce qui est possible, puisque, par construction, les angles en o et o' sont égaux. Le point o' vient en o, et je dis que les ceux figures ainsi placées sont homologiques.

»* Le point o est double, ainsi que les deux droites E et F. Je remarque que les points à l'infini sur les droites I et J' se corres*

pondent, pour des positions quelconques des deux figures : dans le cas actuel, I et J' étant parallèles, leur point d'intersection à l'infini est un point double, donc oc parallèle à I et J' est une troisième droite double passant en o. Dès lors, une droite quelconque passant en o est double; car, jointe aux trois premières droites, elle forme, dans la première figure, un faisceau; le faisceau correspondant de la seconde figure a même sommet que le premier, trois droites communes avec lui, il doit avoir môme rapport anharmonique ; donc les quatrièmes droites coïncident. 11 s'ensuit que les droites qui joignent deux points correspondants passent par le point o. 2* Soient aft, a!b' deux droites correspondantes'; il est facile de voir que leur point d'intersection a est un point double. La droite oa est coupée par I et J' aux points e et <p'. Les deux systèmes de points o, y', a, qo et o, oo, a, e ont même rapport anharmonique, puisque ces points se correspondent deux à deux; donc

-^ : = — -. : ou Oç = ea ,

oa 00 a OGc £ a

â*où l'on conclura aisément que le point a est sur une parallèle aux droites I et J'. Les deux figures ayant un point double isolé et une infinité d'autres a en ligne droite sonthomologiques. i3i. Concordance de ïhomologie et de la perspective. — Supposons que deux figures S et S^, situées dans les plans P et P^, soient l'une la perspective de l'autre, l'œil étant placé au point 0. Un rayon quelconque mené du point détermine deux points homologues a et a^ ; il est évident que deux droites homologues se coupent sur la droite d'inter- Fif. 71. section A des deux plans P et P^. Du point

menons une perpendiculaire au plan bissecteur de Tangle dièdre

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formé par les plans P et P, ; cette perpendiculaire déterminera sur les plans les points homologues c et c^. Faisons maintenant tourner le plan P^ autour de la droite A, pour l'appliquer sur le plan P; le point c, vient en c; la droite c^a, tournant autour du point a, où elle rencontre la droite A, s'applique sur la droite oc, et le point a vient en a! sur cette droite ac, à une distance aa! égale à aa^. Après le rabattement, les points homologues a et a' sont donc situés sur des rayons partant du point c; d'ailleurs les droites homologues se coupent encore sur la droite A; on en conclut que les deux figures sonthomoiogiques l'une de l'autre; le point c est le centre, la droite A l'axe d'homologie.

Réciproquement considérons deux figures homologiques S et S', situées dans le plan P, c étant le centre et A l'axe d'homologie, faisons tourner d*un angle arbitraire autour de la droite A le plan de la seconde figure pour l'amener en P^; le point c vient en c^ ; la droite ca' tourne autour du point a où elle coupe la droite A et s'applique sur la droite ac^ ; le point a! vient en ttj sur cette droite olc^ à une distance aa^ égale à a^a. Nous supposerons l'œil placé au point o où la droite a^a rencontre c^c. Si l'on construit dans le plan P^ la perspective S^ de la figure S située dans le plan P, et que l'on fasse tourner ensuite le plan P^ autour de la droite A pour le ramener sur le plan P, d'après ce qui précède, la figure S^ coïncidera avec S'. Ainsi deux figures homologiques sont d'une infinité de manières perspectives l'une de l'autre (*).

(*) L'homologie a été imaginée par M. Poncelet et employée par lui dans son Traité des propriétés projectives des figures (188^2) comme méthode féconde d'in- Tention. L'étude de la transformation homographlque a été faite pour la première fois par M..Cha8ies dans un mémoire sur deux principes généraux de la science : la dualité et V homographie^ qu'il présenta en 1830 à l'Académie de Bruxelles et qui fût imprimé en 1837 dans s«n ouvrage célèbre : Aperçu histo* rique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie,