Une courbe du degré m ne peut avoir plus de

^ — ,, P'T" ^ points multiples d* ordre k^ p étant le nombre entier 2 (k— 1)

2m immédiatement supérieur a-^ ^*

Supposons qu'une courbe du degré m ait n points multiples

d'ordre k; par ces points et ^^ ^ — n autres points pris à

volonté sur la courbe, faisons passer une courbe du degré p;

cette courbe coupera la courbe proposée en ^^ ^ 4" (* — **

points; il sera donc impossible que la courbe ait n points multiples d'ordre k, si l'on a

Pj£±Èl + {k-i)n>mp,

d'où

fl>

15Â LIVBE m. — CHAP. t.

Pour que Ton paisse faire ce raiscmnement, il faut que le nombre entier p inférieur à m soit tel que Ton ait

et par suite

PiP + ^) ^ p(2m~-/? — 5) a a (A — i)

am

On attribuera à p la plus petite valeur entière supérieure à

-T 3, et le nombre des points multiples d'ordre k ne pourra

surpasser ^^ ,, — ^, .

Remarque. Une courbe du degré m qui a un point multiple d'ordre m — i ne peut avoir d'autre point multiple. Car si elle avait un second point multiple la droite qui passe par ces deux points couperait la courbe en plus de m points.

Il résulte des considérations précédentes que si un lieu du troisième degré a deui^ points doubles, ce lieu se compose d'une droite et d'une conique.

De même si un lieu du quatrième degré a quatre points doubles; il se compose de deux coniques. 8i la droite passant par deux points doubles coupe la courbe en un autre point, le lieu se compose d'une courbe du troisième degré et d'une droite

Si un lieu du quatrième degré a un point triple et un point double, ce lieu se compose d'une courbe du troisième degré ayant un point double, et d'une droite passant parce point.