Une courbe du degré m ne peut avoir plus de

(m — i) (m — 2) . , j ,, -^ ^-^ ^ points aouhles.

Nous remarquons d'abord qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir plus d'un point double ; car si elle en avait deux , la droite qui passe par ces deux points couperait la courbe en quatre points.

De même une courbe du quatrième degré ne peut avoir plus de trois points doubles ; car si elle en avait quatre , la conique passant par ces quatre points et un cinquième point pris à volonté sur la courbe couperait la courbe en neuf points.

En général, supposons qu'une courbe du degré w ait n points

doubles ; par ces points et ^^ ^ — n autres points pris à

volonté sur la courbe, faisons passer une courbe du degré p;

cette courbe coupera la courbe proposée en ^ — - + n

points, chaque point double comptant pour deux; il sera impossible que la courbe ait n points doubles, si l'on a

d'où

Pour que l'on puisse faire ce raisonnement, il faut que le

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DKS COURBES ALGÉBRIQUES. i53

nombre entier p in£^ieur à m soit tel que Ton ait

et par suite

Pk±Il>n,

p(/> + 5) ^ p{-an—p — 3)

OU

on peut donc attribuer à p les deux valeurs m — 2 et m — 1 ; d'où Ton conclut que la courbe ne peut avoir plus de

ï L^ points doubles.

Théorème ITD.