CHAPITRE II. C

'Plxéorie des points sinsuliers dfUiB les oour'bes planes.

162. — Avant d'aller plus loin, nous exposerons une théorie des points singuliers dont l'idée première est due à M. Sturm; elle peut être regardée comme une méthode générale pour la construction exacte et complète des courbes planes.

Considérons une équation algébrique et ramenée à la forme entière

entre les deux variables x et y. La série des points du'plan dont les coordonnées vérifient l'équation peut être envisagée comme étant la représentation géométrique des solutions réelles de l'équation.

Soit M l'un de ces points, a? et y ses coordonnées; cherchons quels sont les points voisms du point M qui satisfont à l'équation proposée. Désignons par x-\-h^y + kles coordonnées d'un point voisin, A et k étant des quantités infiniment petites. Si Ton développe le polynôme /'(a?+ft,y + *) suivant les puissances croissantes de h et de k, l'équation deviendra

(*) Ce chapitre est extrait textuellement d'une note de H. Briot placée à la fin du r''Tolttme du Calcul infinitésimal de M. Gournot.

THÉORIE DES POINTS SIN6ULIEBS DANS LES COURBES PLANES. l6l

163. — Nous allons d'abord examiner le cas général, celui où les deux données partielles f^ et /"^ ne sont pas nulles simultanément au point M.

Menons deux paraUèles à Taxe des y, à la distance infiniment petite ft, de part et d'autre du point M et cherchons Fig. 84. quels sont sur ces deux parallèles les

points qui vérifient l'équation (fig. 84). Pour simplifier posons

fC^'^^ ^'^'

— — ^ «1 — — tonfir«.% ' — j/ —

L'équation (s) prend la forme

^ — « = tangu), -^ = Wo = *«og3t.

(5) tt ,/^ -f PA + QA« + = 0.

Comme h est une quantité infiniment petite, l'équation ne pourra être satisfaite que par des valeurs de u peu différentes de u^s c'est-àrdire par des valeurs de <o peu différentes de a. Par le point M menons la droite A'A, qui fait avec Taxe des x l'angle a ; il est clair que les points cherchés doivent se trouver dans le voisinage des points A et A' où cette droite coupe les deux parallèles. Si Ton donne à u une valeur qui diffère de a d'une quantité supérieure ou égale à l'angle y très-petit, mais déterminé, on pourra trouver une quantité très-petite u, telle que pour toute valeur de A inférieure ou égale à e, le premier terme u — tip du polynôme (B) ait une valeur numérique plus grande que la somme de tous les autres termes, et par conséquent donne son signe au polynôme.

Considérons la dérivée

du polynôme par rapport à u ; le premier terme étant constant, on

i(5S UVRK nu *-- GEIAP. II.

pourra déterminer une quantité tirës-petite ^ telle que, pour les valeurs de to comprises entre ««y ^^ ^ + Y* tonte valeur de h inférieure ou égale ke' rende ce premier terme plus grand numériquement que la somme de tous les autres* Appelons e la plus petite des quantités e et «' et supposons que h soit inférieure ou égale à c. Traçons les deux droites B'B et C'G qui font avec A'Â de part et d'autre l'angle y*

Le polynôme (3) ayant sur les deux parallèles une valeur positive en tous les points dtués au**dôS8us du point G ou au-dessous du point G' négative en tous les points situés au-dessous du point B, ou au-dessus du point B\ ces quatre portions de droite ne renferment aucune solution de l'équation. ,

Si Ton imagine qu*un point mobile parcoure la portion de droite BG, le polynôme, ayant en B une valeur négative, en G une valeur positive, et variant d'une manière continue s'annulera dans l'intervalle; d'ailleurs il ne s'annulera qu'une fois puisque la dérivée ne s'annule pas dans cet intervalle. Ainsi la portion BG comprend une solution de l'équation et une seule. Il en est de même de la portion B'G'. Goncevons maintenant que h décroisse de e à o, chaque valeur de h donnera dans chacun des deux angles opposés BMG et B'M'G un point particulier et la série de ces points formera évidemment une courbe continue passant en M.

Gomme l'angle 2y peut être pris aus^i petit qu'on voudra» il est visible que la droite A'A qui a pour coefficient amgulaire

tangar— - '•

est tangente à la courbe au point M.

On a supposé dans ce qui précède que la dérivée partielle f^ n'est pas nulle; si elle était nulle, sans que f^ le fût, on permuterait dans le raisonnement ft et k ; on mènerait deux parallèles ft l'axe deâ ô^ à ta dbtâiice k du point M et Von arriverait à k

THÉOKIE DES POINTS SINGUUSRS DANS USS COURBES PLANES. 16S

même conclusion, seulement la tangente serait parallèle à Taxe dey.

Il résulte de là que lorsque les coordonnées Sun point qui sa-tisfont à Véquation proposée n'annulent pas à la fois les deux dérivées partielles du premier membre^ en ce point passe une branche de courbe simple.

164. — Il est aisé de trouver la forme de la courbe dans le voisinage du point M. Si Ton fait u=u^^ le polynôme (3) se réduit à

(4) PoA + QoA» +

On peut trouver une quantité e" telle que pour toute valeur de h inférieure ou égale à e\ le premier terme du polynôme (4) qui ne s'annule pas, donne son signe au polynôme. Appelons e' la plus petite des quantités e et e" et supposons h moindre que e'. Si le premier terme qui ne s'annule pas dans le polynôme (4) est de rang impair, comme le terme change de signe avec ft, le polynôme aura des signes contraires en A et en A', par exemple le signe — en A et le signe + ^n A'; les deux points de la courbe seront situés l'un m entre A et G, l'autre m' entre A' et B'; dans ce cas la courbe est convexe (fig. 84) et tourne sa concavité vers les y positives. Si la série avait le signe + en A et le signe — en A', la courbe serait encore convexe, maia.eHe tournerait sa concavité vers les y négatives.

Ainsi lorsque la quantité

p fr^ + ^f^y^o+fy^<

n'est pâô nulle, la courbe est convexe au point M, et le signe de P^ indique le sens de la concavité.

Si le premier ta^me qui ne s'annule pas dans le polynôme (4)

164 LIVRE m. — ŒAP. II.

est de rang pair, le premier terme ne changeant pas de signe avec hj la série a le même signe, par exemple le signe + en A et en A'; les deux points de la courbe sont situés Tun m entre A et B, l'autre m' entre A' et B'; la courbe passe d'un côté à l'autre de la tangente; il y a inflexion (fig. 85). Ainsi quand P^, est nulle sans que Q^^ le soit, Fiç. 85. il y a inflexion.

166. — Nous avons démontré que lorsque les deux dérivées partielles du premier ordre ne sont pas nulles simultanément au point M, en ce point passe une branche de courbe simple, avec ou sans inflexion. Il en résulte que si l'on ne range pas l'inflexion parmi les singularités des courbes, les points singuliers ne peuvent se trouver que parmi ceux dont les coordonnées annulent à la fois les deux dérivées partielles du premier membre de l'équation.

166. — Supposons maintenant que les deux dérivées du premier ordre soient nulles simultanément, l'équation se réduit à

(rï/:'.+"/-i+;^/;-)+ ="

(5) {p^ +2/;;«+/;%')+sA+T/r + ... ^o.

Considérons l'équation du second degré

1" CAS. — f!^ — f^,fyl <o. Le premier terme du polynôme ayant constamment une valeur finie et de même signe, l'équation ne peut être vérifiée. Le point M est un point isoli^