THÉORIE DES POINTS SIMGUUEAS DANS LES COURBES PLANES

2* CAS. — ^ ^', f^^ > o. L'équation (6) a deux racines réelles, tang. a et tang. p, a<p; le premier terme et par suite le polynôme (5) changent de signe quand a> varie de a— y à a+y et de p — Y à p+ y; il n'y a d'ailleurs qu'une seule solution dans chacun de ces intervalles parce que la dérivée par rapport à u

ne s'annule dans aucun d'eux ; il en résulte deux branches simples tangentes respectivement aux droites qui font avec l'axe des X l'angle a ou l'angle p. Le point M est un point multiple.

3* CAS. — fsy'^fx^fv ^^* L'équation (6) a ses deux racines égales à u^ = tang a, et l'équation (5) se met sous la forme

(w«o)' + PA + QA'+ = 0.

Si la valeur de P pour u=u^ n'est pas nulle, on peut donner à h une valeur assez petite pour que le second terme soit plus grand que la ' A- somme de tous les suivants et par con- B+ séquent dcmne son âgne à l'expression Pft4-^Qft*+ pour les valeurs de a> voisines de a. Supposons Po< o ; le polynôme a le signe — en A, le signe + cû B et en C (fig. 86) ; il y a donc une solution m dans Fig. 86. le premier intervalle et une n dans le

second. D'ailleurs, il n'y en a qu'une dans chacun d'eux parce que la dérivée seconde relative à u

ne s'annule pas de B à G. Sur la parallèle de gauche, le polynôme étant la somme de deux quantités positives, ne peut s'annuler; cette parallèle ne renferme donc aucune solution et l'on a un rébrou$$emeni de première espèce.

Lorsque P^ = o, le signe du polynôme en A et en A' est le m6me que celui de Q,,ft% de sorte que si Q^ est négative, chacun des quatre intervalles AB, AG, A'B', A'C comprend une solution, ce qui donne deux branches de courbe tangentes à la même droite A'A et situées de part et d'autre de la tangente. Mais si Q^ est positive, il y a incertitude, l'un des deux intervalles AB ou AG peut contenir deux solutions et de même l'un des deux intervalles A'B' ou A'C'.

167. — Pour lever cette ambiguïté, on posera u=u^+u'h\ ce qui réduira l'équation (7) à la suivante

(w'» + Fott' + Qo) + SA+ = 0,

que Ton traitera comme l'équation (7).

Si F^j* — 4Qô < 0» cette équation est impossible, le point M est isolé. Lorsque P^— 4Q^>o, l'équation u\* + V^u'+Q^ = o admet deux racines inégales u\ et u\ ; si ces deux racines sont de même signe, la courbe se compose de deux branches convexes situées du même côté de la tangente commune; si elles sont de signes contraires, ces deux branches sont situées de part et d'autre de la tangente ; dans ces deux cas, le point M est un point multiple. Lorsque P'^^' — 4Qo = o, si S^ est différent de zéro, l'équation (8) admet pour l'une des parallèles deux solutions voisines de te'^^, ce qui donne pour u deux valeurs voisines de u^ + u\h; il y a au point M un rebroussement de seconde espèce (fig. 87). Si S^j = o et qu'il y ait ambiguïté, on poserait

ji^^^-''"'*^

ÏZ^"'^''

Fig. 87.

et on continuerait de cette manière jusqu'à ce que Ton eût déterminé exactement la forme de la courbe.

La discussion précédente qui porte spécialement sur les

THÉORIE DES POIITTS SIN6UUEKS DANS US COURBES PLANES. l07

tenues du second degré fait bien comprendre Tesprit de la méthode* Nous allons maintenant l'exposer d'une manière gé* AériUe,