CONDITIONS POUR QU*UNE COURRE AIT UN POINT DOURLE

198. — Soit f{x^y^z) = o l'équation de la courbe en coordonnées homogènes. Il faut que les trois équations du degré

DJ==o, D/=o, DJ=o,

soient compatibles. L'équation résultante à laquelle on parviendra par l'élimination de a?, y, z sera du degré 3(tn — i)' par rapport aux coefficients ; car les équations précédentes étant du degré m — i , les coeflScients de chacune d'elles entreront dans le résultat au degré (m — 1)% par conséquent le degré

final de l'équation de condition sera 3 (m — !)••

i9â LIVRE 111. — CHAP, IV,

Cherchons, par exemple, la condition pour qu'une conique

\x'' +A'» + A"£' 4- 2Byz + ^Vzx + 'iB"xy = o

se décompose en deux droites, c'est-à-dire ait un point double. Il faudra élimina or, y, z entre les trois équations

Aar + B"f/ + B'z = p, A"2 + B'x+ By = o;

en égalant à zéro le déterminant, on obtient l'équation de condition

AA'A" — AB« — A'B" — A'^B"* + aBB'B'^ = o ,

qui est effectivement du troisième degré,

194, -^ Si une courbe donnée a un point d'inflexioRf en prenant ce point pour pôle, toutes les polaires passent par ce point. La polaire conique qui a alors trois points communs avec la tangente, se décomposa nécessairement en deux droites, en sorte que la recherche des points d'inflexion de la courbe revient à celle des points popr lesquels la polaire conique se décompose en un système de deux droites.

RECHERCHE DES POINTS d'iNFLEXION.

195. — Supposons que le pôle p coïncide avec un point d'inflexion de la courbe proposée; si la sécante menée par le point p devient tangente à la courbe, trois points d'intersection coïncident, trois facteurs r^, r^, r, sont nuls, et l'équation

admet le facteur r'. Lq, point p est donc un point d'inflexion sur chacune des polaires.

Si l'on considère en particulier la polaire conique, l'équation

précédente se réduisant à une identité, la tangente fait partie du lieu qii se décompose ainsi en deux droites. La recherche des points d'inflexion se ramène donc à la recherche des points dont les polaires coniques se décomposent en deux droites. La polaire conique d'un point dont les coordonnées sont 0?^, y^, «^ a pour équation

en appliquant la condition trouvée précédemment pour que cette conique se décompose en deux droites et effaçant l'indice zéro, on a l'équation

(2) D^D^D^ - d^dv)* - d%{ds,)' - d\{d\y