Lorsque la courbe proposée a. un point multiple a

d'ordre n, sur la sécante pa coïncident n points d'intersection, et

le polynôme R contient le facteur ( -7 ) ; donc unpoinlmul"

tiple d'ordre n est sur la première polaire un point multiple d'ordre n — 1, sur la seconde polaire un point multiple d'ordre n — 2, etc.

Supposons maintenant que le pôle p soit situé sur la courbe. La polaire du n* degré est définie par l'équation

ou

S?Vir„4-3 r^(r'-r^){r ~ rj (r-^r^) = 0.

Lorsque le point p, situé sur la courbe en est un point simple, sur chaque sécante un facteur r^ est nul ; tous les termes qui contiennent ce facteur s'évanouissent, les autres admettent le facteur r — r^ ou r; la polaire passe donc par le point p. Si la sécante devient tangente à la courbe, un second facteur r^ devenant nul, l'équation précédente admet le facteur r au carré, et par conséquent la tangente à la courbe est aussi tangente à la polaire. Ainsi toutes les polaires d'un point situé sur la courbe passent par ce point et sont tangentes à la courbe en ce point.

Lorsque le point p, situé sur la courbe en est un point multiple d'ordre k, sur chaque sécante h les facteurs r^^ r^^ .... Vj^ sont nuls; si n est plus petit que ft, l'équation de la polaire se réduit à une identité ; si n est égal ou supérieur à fc, l'équation de la polaire contient le facteur r'', d'où l'on conclut que le point p est aussi sur chaque polaire un point multiple d'ordre k. Les tangentes à la courbe proposée au point multiple sont aussi tangentes à la polaire. Il est bon de remarquer que la polaire du degré k est un système de fc droites; savoir, les tangentes à la courbe au pohit multiple. Par exemple, la polaire conique d'un point double se compose de deux droites, les deux tangentes à la courbe.

REMARQUES SUR LA CLASSE d'UNE COURRE.

192. — On obtient les points de contact des tangentes menées du point p à une courbe du degré m en cherchant les points où la courbe est coupée par la première polaire du point p; la classe est donc au plus m{m — i). Mais l'existence des points multiples abaisse la classe. Si la courbe a un point double, la première polaire passe en ce point qui comptera pour deux points d'intersection; ainsi chaque point double abaisse la classe de deux unités.

Lorsque les deux tangentes au point double a coïncident, la polaire touchant la tangente double, le point a comptera pour trois points d'intersection; ainsi un point de rebroussement abaisse la classe de trois unités.

Supposons que la courbe ait un point multiple a d'ordre ki ce po'nt est sur la polaire un point multiple d'ordre k — i ; chaque branche de la polaire détermine sur la courbe k points d'intersection qui se confondent en a ; ce point comptera donc pour k{k — i) points d'intersection; ainsi un point multiple d'ordre k abaisse la classe de k(k — i) unités,