POLAIRE HARMONIQUE D'UN POINT D*INFLEXI0N

210, — On a VU que la polaire conique d'un point d'inflexion d'une courbe algébrique se décompose en deux droites dont l'une est la tangente au point d'inflexion. Ce résultat appliqué au troisième degré fournit un théorème analogue au théorème fondamental des polaires dans les coniques.

Considérons un point p situé sur la courbe; la polaire conique de ce point est le lieu des points pour lesquels on a la relation

\r'^rj\r rj^\r~7j \r~rj'^\r rj\r~rj "" ^'

r,, f,, r, désignant les longueurs des rayons interceptées entre le pôle et la courbe. Cette relation peut encore s'écrire.

Il 11 11

En supprimant le facteur commun r, et faisant r,=o il vient

d'où

ÎJCZl + îlZlZ^o;

206 LIVRE m. — GRAP, V.

C'est la relation qui définit le point conjugué harmonique p' du point p par rapport aux deux autres points d'intersection de la sécante et de la courbe, On en conclut que I0 lieu du point conjugué harmonique d'un point p' situé sur la courbe e$t la polaire conique de ce point.

211. — Si le point p est un point d'inflexion, la polaire conique se réiiuisant à deux droites dont Tune est la tangente à la courbe, le lieu est la seconde droite. Ainsi, le lieu du point conjugué harmonique d*un point d'inflexion est une ligne droite. Cette droite s'appelle la polaire harmonique du point d'inflexion.

La polaire conique d'un point p, par rapport à une courbe du troisième degré, a pour équation

{^o^x + yoi>y + 2<P^) f[^^ y> z) = o

(«oDa+ PoI>P+ YoÏ>t)/K p. ï) = 0.

Si l'or, met l'équation de la courbe sous la forme (n« 2o5) «Pt — ^'S» = o, l'équation de la polaire conique devient

«oPï + PoT^' + ïo«P — 3A5o^^ = <>.

Lorsque le pôle coïncide avec un point d'inflexion (a^^=o, 80=0) , cette équation se réduit à

«(Poï + YôP) = o;

elle représente deux droites, l'une est la tangente a = o au point d'inflexion, l'autre

PoT + ToP = o

la polaire harmonique de ce point. On voit que la polaire harmonique d'un point d'inflexion n'est autre chose que la polaire

harmonique de ce point par rapport au système des deux droites ^=0, 7 =s=o, tangentes aux deux autres points d'inflexion situés sur la droite 8 = 0.

212. — La considération de la polaire harmonique dans les courbes du troisième degré donne lieu à des théorèmes analogues à ceux que nous avons vus pour les coniques.

Ainsi i"" les droites qui joignent les extrémités de deux rayons menés par le pôle se coupent sur la polaire.

2° Les tangentes menées aux extrémités d*un rayon passant par le pôle se coupent sur la polaire.

On sait que d'un point donné on peut en général mener six tangentes à une courbe du troisième degré. Les points de 'contact de ces tangentes sont situés sur la polaire conique du point donné.

Si le point donné est d'inflexion, on n'en peut plus mener que trois; alors les points de contact sont sur une ligne droite qui est la polaire harmonique,

Donc la polaire harmonique passe par Us points de contact des trois tangentes menées du point d'inflexion. Si la courbe a un point double, on sait que la polaire conique passe par ce point. Par conséquent, ce point se trouve aussi sur la polaire harmonique.

Vltéorème.

213. — Si ton joint le point d*inflexion^ aux trois points a,b, c où une droite coupe la courbe^ les trois autres points a', b', c'

d'intersection sont en ligne droite.

En effet, les droites ab et a'b' se coupent sur la polaire harmonique P (fig, 107). Il en est de même des droites oc, aV; donc les trois points a\ b\ é sont en ligne droite.

Pig. loT. ' GoROUAïRE. -^ !• 5i par le point d'in»

flexion p on mène une droite oaa' et les tangentes aux points où

208 LIVRE ni. — GHAP. V.

cette droite coupe la courbe^ ces tangentes rencontrent la courbe en des points c, c' qui sont en ligne droite avec le point d* inflexion.

Il suffit de supposer que deux points a et 6 coïncident dans le théorème précédent.

2** Les trois points d'inflexion réels d'une courbe du troisième degré sont en ligne droite.

En supposant que les trois points a, 6, c coïncident, on voit en effet que les trois points a\ b\ c' coïncident aussi sur la droite pa.

On voit en outre que les tangentes à deux quelconques des points d'inflexion se coupent sur la polaire harmonique du troisième.

Tliéorèine.

21i. — Si par un point d'inflexion p on mène trois rayons qui rencontrent la courbe aux points a^ja,, bj,b,, c,,c,, toute courbe du troisième degré passant par les sept points p, a^, a,, b^ b,, Cp c^ admet le point p pour point d'inflexion.

En eflet, les trois rayons qui partent du point p rencontrent la polaire harmonique en trois points a, 6, c; ces trois points appartiennent à la polaire conique du point p relativement à chaque courbe passant par les sept points. Cette conique se décompose donc en deux droites et le point p est un point d'inflexion.

215. — Nous avons vu que le nombre des points d'inflexion d'une courbe de degré m est au plus 5m (m — 2) ; par conséquent une courbe du troisième degré a en général neuf points d'inflexion, dont trois réels au plus. Si on joint l'un d'eux à quatre autres, on a quatre droites sur lesquelles se trouvent les quatre derniers. Si une courbe du troisième d^gré est décrite par ces neuf points, elle admet ces neuf points pour points d'inflexion.

Le nombre total des droites qui joignent les points d'inflexion

est fadie à obtenir; car, des droites guipassent par trois points d'inflexion, quatre passent par chaque point; donc leur nombre

RÉDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU TROISIÈME DEGRÉ A UNE FORME SIMPLE.

216. Nous avons vu que toute courbe du troisième degré a au moins un point d'inflexion réel; soit p ce point et P sa polaire harmonique. Si on rejette à l'infini le point p et la tangente I en ce point, on aura un système de cordes parallèles divisées en deux parties égales par la polaire harmonique. On pourra effectuer cette transformation au moyen des diverses méthodes que nous avons exposées. Si on se sert de l'homologie, il faudra prendre un axe d'homologie parallèle à la tangente au point d'inflexion. Gela revient, comme nous avons vu, à faire une perspective de la figure, sur un plan pa- Fig. 408. rallèle au plan mené par le point de vue

et la tangente I au planp (fig. 108).

Prenons dans le plan du tableau deux axes de coordonnées, la polaire harmonique pour axe des x et une parallèle aux cordes pour axe des y. L'équation ne devant contenir que la seconde puissance de y, sera de la forme

D'ailleurs il ne peut y avoir d'asymptotes situées à une distance finie, car la droite I ne rencontrant la première courbe qu'au point p, les tangentes aux points à l'infini sont rejetées à l'infini.

On a donc A = 0, et l'équation de la courbe devient

2i0 LIVBE Xn. — CHAP. V.

Celte form? Foprésepte ^ courbes dites pQf§b0liq^H qui se composBQt 4q branchesi m^es &^m asymptoteGit Toutes les courbes du troisième degré peuvent être regardées comme les perspectives de ces courbes.

Étudions maintenant la forme de ces courbes.

217. — On peut supposer le coefficient A positif, sans quoi on changerait le sens de Taxe des x. La discussion de la courbe donne trois dispositions particulières qui peuvent rentrer dans la division générale des courbes du troisième degré, que qous givoîis indiquée au commencement du djapit^e.

I® Courbes ie la sixième cla$sef — On peut les diviser en deu^ espèces, suivant que le polynôme du troisième degré en a? 9. toutes pes racines réelles et inégales, ou iine réelle seuleqient*

Soient a, 6» Çj les racines de ce polynOmeégal à zéro, on peut

écrire ;

Supposons ces racines réelles, et soit a <b<c. On obtient une première espèce de courbe (iig. i og) qui se compose d'une boucle ou ovale, et de deux branches infinies; on voit, M effet, que l'ordonnée est imaginaire quand x varie de — oo à a, réelle quand x vsne de a à 6, imaginaire quand X varie de 5 à e, et réelle quand x varie ïig. 109. ' de c à + PO • D'un point extérieur, on peut mener six tangentes, dont deux à l'ovale. — Cette première espèce possède trois points d'inflexion réels dont un est à l'infini. On obtient la seconde espèce en supposant deux racines 6 et c imaginaires. Dans ce cas, l'ordonnée est imaginaire quand x varie de oo à a, et réelle quand x varie de a à l'infini. La boucle disparaît (fig. 1 1 o) , et il ne reste que deux branches infinies symértriques de côté et d'autre de l'axe des x. — Il Fig. lie. y ^ également trois points d'inflexion réels comme précédemment.

Fig. 111.

2* Courbes de la qtLatriénte classe. — On obtient cette variété de courbes en supposant que le polynôme du troisième degré a deux de ses racines égales. Elle se divise encore en deux espèces suivant que cette égalité a lieu entre les deux plus petites ou les deux plus grandes. Si a = 6, on obtient un point isolé et deux branches infinies. Il y a trois points d'inflexion réels (fig. m).

Si 6 = c, la boucle se joint au reste de la courbe (fig. .112); on a ainsi un point double et deux branches infinies. Cette espèce n'a qu'un point d'inflexion : il est à l'infini.

3° Courbes de la troisième classe. — Si enfin les trois racines sont égales, la courbe présente un point de rebroussement et affecte la forme indiquée dans , la figure 1 1 3 ; comme précédemment il n'y a qu'un point d'inflexion qui est à l'infini.

Fig. 113.