CHAPITRE I

Pôles et plans polaires.

RAPPORT ÀNHARMONIQUE.

218. — L'extension des théorèmes qui ont été donnés en géométrie plane pour le rapport anharmonîque des faisceaux de droites, au rapport anharmonique des faisceaux de plans se fait sans difficulté. Ainsi :

Le rapport anharmonique des quatre points ditertninis sur une droite quelconque par un faisceau de quatre plans passant par une même droite est constant.

Considérons, en effet, deux sécantes, et par chacune d'elles faisons passer un plan ; ces plans couperont chacun le faisceau de plans suivant un faisceau de droites dont le rapport anhar-

monique est égal à celui de la sécante par laquelle passe le plan. Mais les deux faisceaux de droites ainsi déterminés ont une sécâtite (Sommune» qui est la droite d'interâettion de leut-s plans ; leur rapport anharmonique est donc le même, et, par suite aussi, le rapport anharmonique des quatre points situés sur l'une des sécantes est égal au rapport anharmonique des quatre points situés sur l'autre.

Ce rapport anharmonique constant des quatre points déterminés sur une sécante qufelconcjUe pat un faisceau de quatre plans, est dit le rapport anharmonique du faisceau,

Lorque le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans est égal à — i , les plans sont dits former un faisceau harmonique.

219. — Systèmes homographiques. — Involution. — Deux faisceaux, dans lesquels les plans se correspondent d'une manière déterminée, sont dits homographiques, lorsque le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondants du second.

Si deux faisceaux homographiques ont le même axe, c'est-àdire passent par la même droite et que deux plans a et o' soient conjugués réciproques ^ c'est-à-dire tels que a considéré comme appartenant au premier faisceau ait pour correspondant a' dans le second, et que a' considéré comme appartenant au premier faisceau ait pour correspondant a dans le second, tous les plans seront conjugués deux à deux et ce système sera dit en involution.

Gela résulte immédiatement de ce que le système des deux faisceaux est coupé par une droite en un système de points en involution.

Dans un faisceau en involution, il y a deux plans doubles correspondants aux deux points doubles du système de points en involution sur la sécante.