SUR DN SYSTÈME PARTICULIER DE COORDONNÉES
240, — Dans toutes les questions où entrent des systèmes de
diamètres conjugués d'une surface, Thomographie, en permettant de remplacer cette surface par une sphère, introduira des simplifications notables dans la solution de la question. Il est un moyen bien simple d'effectuer cette transformation, qu'on peut employer dans ces sortes de questions, comme artifice de calcul, sans parler de l'homographie. Si la surface, dans laquelle on a à considérer des systèmes de diamètres conjugués, est un ellipsoïde, et que l'on prenne pour axes des coordonnées ses propres axes, son équation est de la foime
Nous transformerons cet ellipsoïde en sphère par les formules homographiques
X = ax\ y = iy', z = es! y
et la sphère correspondante aura pour rayon l'unité. Les coordonnées d'un point quelconque de cette sphère seront donc les cosinus des angles que fait avec les axes coordonnées le diamètre passant par ce point. Si l'on ne veut pas parler de l'homographie, on peut se contenter de dire que x\ y\ si sont un système particulier de coordonnées dans lequel les conditions qui expriment que les diamètres qui passent par trois points de la surface sont conjuguées, sont les relations qui expriment que les nouvelles coordonnées de ce point sont les cosinus des angles que font avec les axes trois directions rectangulaires. Voici quelques exemples de l'emploi de ces coordonnées.
Problème.
241. — Trouver le lieu des sommets des irièdres dont les faces sont parallèles à un système de plans diamétraux conjugués d'un ellipsoïde A et tangentes à un second ellipsoïde B. [Concours génér rah 1860.)
HOMOGRAPHIE. 220
Prenons pour axes des coordonnées les axes de Tellipsoîde A et soit alors
son équation. Soient a\ b\ c' les axes de Tellipsoîde B,
a? = ax' -j- «y -f «"z', z = YX' + ïV + T V,
les formules de transformation qui servent à passer des axes que nous avons choisis à ceux de B.
Nous prendrons pour coordonnées d'un point les quantités ^, [JL, V unies aux coordonnées anciennes par les relations
X = a}^y y = b\>.j z = cv,
Si )., [JL, v; V, \k\ v'; ï!\ ^t!\ v" sont les coordonnées des extrémités de trois diamètres conjugués de A, il y aura entre ces quantités les six relations qu'il y a entre les cosinus de trois directions rectangulaires. Les plans tangents à A aux trois points considérés sont parallèles à un système de plans diamétraux conjugués de cet ellipsoïde. Les plans tangents à B parallèles à ces plans ont pour équations
abc
(a) -^ + ^ + y = V^ft^L'» -I- t/m'^+ c^N'* ,
L, M, N, étant les coefficients de x\ j/, z* dans le premier membre de la première de ces équations , lorsqu'on y substitue les valeurs de a?, y, z fournies par les relations (i); et de même pour
L', MT, ..w. On a donc
a a Y a' û' y' a" fi" v"
L"=X"- + îi.''?+v"ï,M"= , N"=
abc
Si Ton ajoute les équations (2) élevées respectiveqaent au carré, il vient, en tenant compte des relations qui existent entre les paramètres )v, [x, v,
o» ^ 6' ^c» V«' ^ 6» ^ c»/ ^ V«* ^ 6» ^ cV
tfest Fèquation du lieu cherché qui est un ellipsoïde semblable à Fellipsoïde A.
Remarque. — Les équations (i), jointes aux relations qui existent entre les paramètres ne font que neuf équations, et comme il y a neuf paramètres, il semble au premier abord que le sommet du trièdre est arbitraire; mais ces équations ne sont compatibles qu'autant que l'équation que nous avons obtenue pour le lieu cherché est remplie, et alors on voit que chaque point du lieu est le sommet d'une infinité de trièdres satisfaisant aux conditions de l'énoncé.
Le nombre de conditions que fournit l'énoncé semble donc, à prioriy indiquer qu'un point quelconque de l'espace fait partie du lieu ; l'existence du lieu est due à une particularité analytique des équations qui expriment ces conditions. Il serait donc plus exact de poser la question comme un théorème que comme un problème. La même particularité se présentera dans l'exemple suivant.
HOMOGÂAPdlE. 2S1
ProUème.
242. — Par un point d'Une surface du second degrés on fnène trois droites parallèles à un système de diamètres conjugues d'un ellipsoïde^ et par les seconds points d'intersection de ces droites avec la surface on fait passer un plan. Ce plan passe par Un point fixe.
Prenons pour origine le point fixe, que nous pouvons supposer être en même temps le centre de T ellipsoïde, puisque d'après l'énoncé on peut déplacer cet ellipsoïde parallèlement à luimême sans changer le lieu. Prenons aussi pour axes de coordonnées les axes principaux de rejlipsoïde.
Pour résoudre la question, nous couperons la surface par un plan
(i) M? + py+YZ = 8,
et nous chercherons la relation qui doit exister entre les coefficients de cette équation, pour que le cône, ayant pour sommet Vorigine et pour base la section faite par le plan dans la surface considérée, contienne les extrémités de trois diamètres conjugués de Tellipsoïde, points qui seront représentés par les coordonnées nouvelles î^, jx, v; 1\ [ji', v'; V\ [jl", v''. Soit
S = Aar* + Ay + A'z * -f- àByz + aB'zar -j- a^"xt/ + aCx + aC'y
l'équation de la surface. Le cône, passant par Tinterâeclion de cette surface et du plan représenté par l'équation (i) , a une équation de la forme
(2) S + 2[ctx + pt/ + T« — 8)(ma: + wy + pz +q) = o,
et coïnme il a pour sommet Twigine, cette équation doit être
homogène, de sorte que
Si Ton substitue les valeurs de m, n, p, q dans Féquation (2), on a pour l'équation du cône
(a + aC I) a?«+ (a'+ 2C'|) f+ (h" + 2G" |) z« + = o,
et pour que les extrémités de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde soient situées sur ce cône, il faut que l'on ait
(A+2G|ja«X« +(x'+2G^^bY +(a"+2G"Ï)cV +... =0,
(3) (a+2G^) a«X'« + (a'+2C'?^ ÔV'^ + (a"+2G''|)cV' x... = o,
(a+2C|) a»X'"'+ (A'+2a|^ iV'+ (A"+2G"|yv'''+... =0,
les paramètres qui entrent dans cette équation, étant unis par les six relations distinctes qui existent entre les cosinus des directions des trois droites rectangulaireiJ. Au premier abord, il semble que ces six relations jointes aux trois équations (3), déterminent les paramètres variables, et que , par conséquent, quel que soit le plan représenté par l'équation (1), il y a toujours un système de trois génératrices du cône parallèle à un système de diamètres conjugués de l'ellipsoïde. Mais si l'on ajoute les trois équations (3) , en tenant compte des six relations qui existent entre les paramètres variables, il vient simplement
(4) (a+ 2G iy+ (a'+ aC'|)6*+ (a"+ 2C" î) c« =
Pour qu'il y ait un système de diamètres conjugués de Tellipsoïde qui soient des génératrices du cônOr il faut donc qu'il
HOMOGRAPHIE. 233
y ait, entre les coefficients de l'équation de ce cône, la relation (4) ; et alors, dès que deux diamètres conjugués de l'ellipsoïde sont situés sur le cône, le troisième Test aussi.
L'équation (i), jointe à la relation (4), représente tous les plans cherchés, leur équation générale est donc
\ «p+Py + w \ a^ + Py + w
ou bien
a(Dar-f 2Ca») + ?(Dy + aCV) + t(Dz+ 2CV)= o,
en posant pour abréger l'écriture
D = Aa« + A'6« + AV.
De là résulte que tous les plans cherchés passent par le point fixe dont les coordonnées sont
Comme, du reste, l'équation de ces plans contient deux paramètres arbitraires et que par conséquent on peut faire passer un plan du lieu par deux points arbitraires, le lieu des plans se compose de tous les plans passant par le point fixe dont nous avons déterminé les coordonnées. Il est facile de vérifier avec les valeurs de ces coordonnées que ce point est sur le diamètre conjugué dans l'ellipsoïde au plan tangent à la surface à l'origine. Cela résulte encore immédiatement de ce que si l'on prend tous les systèmes de diamètres conjugués de l'ellipsoïde composés de ce diamètre et de deux diamètres conjugués dans la section faite par le plan tangent dans l'ellipsoïde, les plans correspondants passent par cette droite.
