DES COORDONNÉES HOMOGÈNES
243. — Il arrive âoavent que Ténoncé d'une question présente une certaine symétrie par rapport à quatre plans convenablement choisis. On introduit alors beaucoup de symétrie dans les calculs, et quelquefois des simplifications très- grandes, en substituant aux coordonnées ordinaires a?, y, z de nouvelles coordonnées déterminées par ces quatre plans dont nous représenterons les équations par
Posons pour un instant
nous aVona ainsi trois équations du premier degré en x, y, z. Si on les résout par rapport à ces quantités, on obtiendra pour valeurs de ac, y, z des rapports de fonctions linéaires de a^ bj c k une même fonction linéaire de ces quantités, et, par la substitution dans une équation , on obtiendra une équation du
même degré en a, 6, c; remplaçant alors a, 6, c par^, ^, Lon
aura une équation homogène en a, p, y, 8. Ces quantités sont dites des coordonnées homogènes^ quoiqu'à justement parler on ne puisse considérer comme coordonnées nouvelles que les rapports de trois d'entre elles à la quatrième.
Ceci n'est que l'extension à la géométrie à trois dimensions des coordonnées trirectilignes en géométrie plane, et l'interprétation de ces coordonnées est la môme ; a, p, y^ 8* rejwrésentent, à un facteur constant près , les distances du point dont elles sont les coordonnées aux quatre faces du tétraèdre des coordonnées, c'est-à-dire du tétraèdre formé par les quatre plans proposés.
HOMOGRAPHIE. 2^5
Les coordonnées a, 6, c, ou =• , ? , ^- déterminent les positions de trois plans passant par trois des arêtes du tétraèdre. Ce sont ces trois plans qui, par leur intersection, déterminent le point.
Théorème.
244. — Si a, p, Y, 8 représentent des fonctiom Kiièditti hû-^ mogènes des variables x, y, z, t et que ç (x, y, z, t) soit ce que devient la (onction homogène f (*, p, Y» ^) P^** '^ substitution des valeurs de a, p, y, S en x, y, z, t, on a identiquement
^'?;+yVy+ = ^r«+prp+-
a', §',... iKanI 68 91M det^ietmen^ a, p, * » ^uand on y change ^^ y » • • •
0tl x ^ y fc • •
On a, ^à efiet, d'après le théorème des fonctions de fonction!^
Si Ton ajoute ces équations, après les avoir multipliées respectivement par a?', y',... et qu'on remarque que
puisque Da, o^ est égal au coefficient de x dans a, D^a au coefficient de y etc. , on a identiquement
A'^+}/iy+ = «'ra+prp+
Il résulte de là qu'en coordonnées homogènes le plan polaire
du point a', p', y'» 8' a pour équation ou encore
L'utilité des coordonnées homogènes ressort immédiatement de ceUe des coordonnées trirectilignes en géométrie plane; nous nous contenterons donc de donner un exemple de l'emploi de ces coordonnées,
ProMème.
246. — Trouver le lieu d'une droite mobile qui reste tangente à une surface de second degré et qui s'appuie sur deux droites fixes tangentes à celte surface.
Soient A et B (fig. 1 14) les deux tangentes fixes, a et 6 leurs points de contact, G la ligne qui joint ces points. Menons les plans tangents en a et 6 à la surface et soient d et c les points où ces plans rencontrent les droites B et A. Prenons pour tétraèdre des coordonnées le té- ~B traèdre ayant pour sommets les points a, 6,
Fig. 114.
C, d. Soient a=o, p=o, X=o, 8 = 0, les équations des faces respectivement opposées aux sommets a, 6, c, d. La droite A aura pour équations
et la droite B
L'équation de la surface est de la forme
Aa» + A'P« + kY + A'"a* H- 2Bap + aB'aT + 2B"a8 + 26"^?^ + aB'^pa -f- aB'fS = o.
HOMOGRAPHIE. 237
Exprimons que la surface est tangente, en a au plan p=o, en b au plan a = o. Le point a a pour coordonnées p=o, y=o, 8=0; le plan tangent à la surface en ce point a donc pour équation
.- /^a = Aa + B? + B'y + B'^a = o .
Gomme cette équation doit se réduire à p== o , on a
En exprimant que la tangente en b est a = o, on trouve de même
L'équation de la surface est donc de la forme S = Mr* + UV + aPa? + qP'tS = o.
Une droite du lieu, rencontrant les droites A et B, est représentée par les équations
a = jAY.
Nous obtiendrons les points où cette droite rencontre la surface en remplaçant dans Téquation de la surface a et p par leurs valeurs, ce qui donne
Uf + 2(PXti + POtS + M'8« = 0.
La droite sera tangente, si la condition
(PXjjt -f py — MM' = o, ou
est remplie,
On en déduit Téquation du lieu
qui peut s'écrire
Cette forme montre que le lieu se compose de deux surfaces du second degré tangentes chacune à la surface donnée le long d'une courbe plane; les deux plans des contacts, dont Tintersection avec la surface donne le lieu des points de contact de la tangente mobile, ont pour équations
yV'm±8v^M'=o.
Chacun de ces plws passe par la droite C.
