THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 2AS
niques qui passent par sept points donnés passe par un point
Car le plan polaire d'un point fixe par rapport à ees surfaces dont l'équation est
est évidemment
P4.ifcF + fcT" = oa
P = 0, F = o, F' = o étant les équations des plans polaires de ce point par rapport aux surfaces S = o, S' = o, S" = o.
Si le point s'éloigne à l'infmi dans une certaine direction, son plan polaire devient le plan diamétral conjugué de cette direction; par conséquent
Dans toutes les surfaces du second degré qui passent par sept points donnés^ les plans diamétraux conjugués d*une direction donnée passent par un point fixe.
Tbéovème conrélatlf,
S5S. Le lieu du pôle Sun plan fixe par rapport à toutes les surfaces du second degré tangentes à sept plans donnés est un plan.
Si le plan se transporte à l'infini, son pôle par rapport à une surface est le centre de cette surface ; par conséquent
Le lieu du centre des surfaces du second degré tangentes à sept plans donnés est un plan.
254. — Des cônes qui passent par Vintersection de deux surfaces du second degré. — L'équation générale des surfaces du second degré qui passent par l'intersection des deux surfaces 8 = 0, S'=oest
(i) 8-f.AS'î=o.
Pour que cette équation représente un cône, il faut que son centre soit situé sur la surface; on obtiendra la condition analytique correspondante en éliminant a?, y, z entre Féquation (i) et les trois équations
Si Ton rend les fonctions S et S' homogènes à l'aide d'une quatrième variable ^ on a identiquement
r(D.S+AD,S')+y(I>vS+*I>,S')+2(D.S+*D,S')+/(D,S+AD,S')
En vertu des équations (i) et (2), cette équation se réduit à (3) D,8 + *D,S'=:o.
Les quatre équations (a) et (5) étant linéaires en a?, y, js, le résultat de l'élimination sera une équation du quatrième degré en k. Ainsi :
Il y a généralement quatre cônes du second degré passant par ïintersection de deux surfaces du second degré.
Vliéorèiiie 1^.
255. — Les sommets des quatre cônes qui passent par V intersection de deux surfaces du second degré sont les sommets d'un tétraèdre réciproque^ par rapport à chacune des surfaces du second degré qui passent par Tintersectûm des surfaces données.
On voit d* abord géométriquement que le tétraèdre formé par les sommets des quatre cônes est réciproque par rapport aux deux surfax^es S et S', et par suite par rapport à toutes les
THÉORÈMES GÉNÉRàUX SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 2&5
surfaces
S + JkS' = o;
car chacune de ses faces est un triangle réciproque par rapport aux sections faites par son plan dans les deux surfaces.
Je dis maintenani que c'est le seul tétraèdre réciproque par rapport aux deux surfaces. Pour qu'un point a?, y, z ait même plan polaire par rapport aux deux surfaces S et S', il faut que les deux équations
XD.S + YD^S + ZD.S + TD,S = o, XD^' ^ YD,S + ZD,S' + TD,S' = o
soient identiques, et par conséquent que Ton ait
Si Ton désigne par — k la valeur commune de ces rapports, les points chOTchés seront donnés par les équations
D^S + ifcD,S' = o,
ce sont donc les sommets des quatre cônes considérés. Ceci est encore une démonstration analytique de la réciprocité du tétraèdre considéré.
Théorème "TI.
256. — Le lieu dei sommets des cônes du second degré qui passent par Vinterseclion d'une surface du second degré donnée et d'un cône quelconque du second degré ayant pour sommet un point fixe^ est le plan polaire de ce point.
&&6 tIVRB Vf. ^ G&AP& IIIi
Ce théorème est une conséquence immédiate de la propositum qui précède. On peut d'ailleurs le d&nontrer directement de la manière suivante :
Prenons pour origine le point fixe, et soit 6 :=o l'équation de la surface. Soit S'=o l'équation d'un cône quelconque passant par l'origipe. L'équation générale des surface du HQQond degré passant par rintersaction de S et S' est
S + fô' = o.
La condition, pour que cette équation représente un cône, est le résultat de Télimination de a?, y, z entre les quatre équations
DJS + *D.S' = o,
et le sonunet du cône sera donné par les valeurs de o^i y, z satisfaisant à ces quatre équations. Il en résulte immédiatement que le lieu de ce sommet est
c'est-à-dire le plan polaire de Torigine.
BES SURFACEA FASSAMT PAU HClt FQINT8 OU TAMGBNTBd A HlIlT Fbâlfi BT ASSUJETTIES A UNE NfiUVlÈllB QQMBITIOji.
257. — Neuf points ou neuf plans tangents. — De ce que nous avons établi au commencement de ce chapitre il résulte que par neuf points non situés sur une même ligne à double courbure, intersection de deux surfaces du second degré, on peut toujours faire passer une surface du second degré, et on n'en peut faire passer qu'une seule.
On peut toujours mener une surface du second degré tangente
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ; ii?
à neuf plans donnés, pourvu que ces neuf plans ne soient pas tangents à une même surface développable enveloppant deux surfaces du second degré, et on n'en peut mener qu'une seule.
0^1)3 les cas que nous »vons éc^tés, les disux problèfuf^pré^ sentent une infinité de solutions.
268. — Bmt poinU et un plan iangenî e» UivtrsemmL — Lâcondition qui exprime qu'un plan est tangentà lasurface 64*KS'3=:o, étant du troisième degré en K, il y a trois surfaces passant par huit points et tangentes à un plan, ou inversement tangentes à huit plans et passant par un point.
De simples considérations géométriques conduisent encpre à ce résultat. Un plan tangent à une surface est un plan coupant la surface suivant deux droites réelles ou imaginaires. Or le plan donné coupe la courbe commune à toutes les suraces passant par les huit points en quatre points réels ou maginaires a, 6, c, d. Si la surface est tangente au plan, elle sera coupée par ce plan suivant un des trois systèmes de droites passant par ces points, et le point de contact sera l'un des sommets de ms systèmes de droites, c'rat-à-dire un des sommBts du tiaagle rédproque par rapport à toutes les coniques passant par tes quatre points a, b^ e, dk Goimue il est évident que Ijes mirfaces passant par les huit points donnés ^ un de ces points sont coupées par le plan donné suivant deux droites, il y a trois surfaces passant par les huit points et tangentes au plan donné. Les points de contact sont tes sommets du Uiangle réciproque par rapport à toutes les coniques passant par les points a, &, c, d, et en particulier par rapport aux coniques suivant lesquelles sont coupées par le plan les quatre cônes passant par l'intersection de toutes les surfaces qui passent par les huit points. Les lignes qui joignent le sommet de fun de ces cônes aux trois points de contact forment donc un système de diamètres conjugués du cône.
260. — 3i Ton jdonne te centre d'ijin^ surface et }es S6ctix)ns
218 UYRE lY. — G&AP. UI.
circulùres faites par des plans diamétraux, cela revient à se donner l'intersection de la surface et d'une sphère
ou huit points; il y a donc trois surfaces assujetties à ces conditions et tangentes à un plan donné.
Gomme l'équation générale des surfaces assujetties aux conditions initiales est, m. l'on désigne par S= o l'équation de l'une d'eUes,
8 + *(ap« + y« + 2«-r«) = o,
une quelconque passe par l'intersection du cône de révolution imaginaire
et de la surface
S — kr* = o;
le cône représenté par l'équation (i) est donc un des quatre cônes qui figurent dans le numéro précédent, et comme ses diamètres conjugués sont rectangulaires, les lignes qui joignent le centre donné aux trois points de contact sont rectangulaires.
