THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 2Â

dont la ligne d'intersection se compose de deux courbes planes sont doublement tangentes aux deux points où Fintersection de ces plans rencontre les surfaces.

Si nous transformons la figure par les polaires réciproques, à deux surfaces doublement tangentes correspondront deux surfaces doublement tangentes, et il existe deux cônes enveloppant ces deux surfaces.

Les quatre points qui ont même plan polaire par rapport aux deux surfaces, sont évidemment dans ce cas les deux points de contact et les sommets des deux cônes passant par la courbe d'intersection des surfaces.

261. — Si deux surfaces du second degré en coupent une troisième suivant la même courbe plane, elles se couperont évidemment suivant deux courbes planes, dont Tune sera la courbe conunune aux trois surfaces; le plan de l'autre passera par l'intersection des plans des secondes courbes d'intersection des deux premières surfaces avec la troisième; car les deux premières surfaces ont des équations de la forme

S + oip = o, S + aï = o,

et par suite elles se coupent suivant deux courbes planes , les plans de ces courbes ayant pour équations

ât = o, p — Y==e.

262. — Deux surfaces du second degré homothétiques ont dans leurs équations mêmes termes du second degré. Si l'équation de Tune est S = o, l'équation de l'autre sera donc de la forme S + * = o> ^ étant du premier degré. Par suite deux surfaces du second degré homothétiques se coupent suivant une courbe plane. Gomme l'intersection de deux surfaces est en général une courbe du quatrième degré, dans ce cas, les coefficients des

SSO LIVRB IV. *-- GHAP. III.

termes du quâktrième et du troisième degré sont nuls, et on peut dire que les surfaces se coupent suivant defii courbes planes, le plan de l'une étant à Tinfini.

II réduite de là et du numéro précédent que trois surfaces homothétiqués se Coupent suivant trois courbes planes dont les plans passent par une même droite.

263. — Deux sphères» étant homothétiqués, se coupent suivant deux courbes planes dont Tune a son plan à Tinfini. Il résulte de là que toutes les sphères sont coii^pées par le plan à rinfmi suivant le même cercle imaginaire que Qous appelleirops le cercle imaginaire à Vinfinù

On conclut de là qu'une section plane d'une surface du second degré sera un cercle, lorsqu'elle passera par les deux points imagihalres où son plan rencontre le cercle imaginaire à l'infini % car si par trois des points de cette section plane on fait passer une sphère quelconque, le plan considéré coupera la siirSsM^B et la sphère suivant deux coniques ayant cinq points communs, e| par conséquent suivant la même conique, qui est par suite un cercle.

Nous pouvons immédiatement déduire de là le nombre des directions des plans des sections circulaires. Une surface du second degré est rencontrée en quatre points imaginaires par le cerele à l'iiifinii on peut donc m^aier Ax sécantes rencontrant le cercle à l'infini et la stiirface aux mêmes pmnts. De là al^ directions de plans de sections circulaires, dont deux seulement sont réelles, parce que, parmi les six sécantes considérées, il y en a seulement deux réelles; ce sont celles qui joignent les points imaginaires conjugués.

Les six droites considérées peuvent être partagées 0a trois couples de deux droites, dont les sommets forment un Sangla rédproque par rapport aux sections fûtes par h plan à l'infini dans la surface et dans la sphère. Il en résulte, d'a|^rès le n"" â5B que les droites qui joignent ces trois points au centre de ia 3plière ^9opt rectangulaires, et il est faôk de voir que ces dfaï»c*

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR tBB SURFAQES DU SECOND DEGRÉ. S§1

lions gont eelles des fixes de h surface ; car les tàx plans des sections circulaires se coupent deux à deux suivant trois droites; réelles parallèles aux axesi de la surface^

264. — Dans la géométrie à deux dimensions, Tétude des points-cercles doublement tangents aux coniques nous â fourni la notion des foyers; Tétude de points-sphères doublement tangents aux surfaces du second degré nous conduira à la notion àm lignes focales dans les surfaces du second degré; mais à cause de Timportafice du sujet nous consacrerons à cette étude In chapitre suivant.

266. — Lorsque les deux plans, suivant lesquels se coupent deux surfaces doublement tangentes, viennent à se confondre, les deux surfaces se raccordent tout le long d'une ligne plane. (Voir la Géométrie analytique.)

Deux surfaces concentriques et semblables se coupent suivant deux plans situés à T infini; elles se raccordent donc le long de la section faite par ce plan. Cette proposition peut être utile dans les transformations homographiques.

Si S ±= est l'équation d'une surface, l'équation

représente une surface se raccordant avec elle le long de la sec** tion faite parle plan a = o; il résulte de cette équation que les deux surfaces sont coupées par un même plan suivant deux coniques doublement tangentes. Si donc l'une des sections devient un point-cercle, ce point sera un foyer de l'autre section. Par conséquent :

1* Si deux surfaces se raccordent^ les plans tangents aux ombilics de Vune coupent Vautre suivant des coniques dont les ombilics sont des foyers. (Les ombilics d'une surface sont les extrémités des diamètres conjugués aux sections circulaires. Les plans tangents aux ombilics coupent donc la surface suivant un point-cercle.)

262 UVRE IV. — CHAP, m.

3*" Si une surface se raccorde avec une sphère^ tout plan tan^ gent à la sphère la coupe suivant une conique dont le point dé contact du plan avec la sphère est un foyer.

EMPLOI DES COORDONNÉES HOMOGÈNES DANS L'ÉTUDE GÉNÉRALE DES SUAFAGES DU SECOND DEGRÉ.

266. — Équation d'une surface rapportée à un tétraèdre réciproque. — Nous avons vu dans l'étude des coordonnées homogènes que, si Ton rapporte une surface du second degré à un tétraèdre dont les quatre faces ont pour équations

son équation générale est

As P, Y, «) = o,

/(a, p, Y, 8) étant la fonction homogène générale du second degré des variables a, p, y, 8.

Si le tétraèdre des coprdonnées est réciproque par rapport à la surface, en exprimant que chaque sommet est le pôle de la face opposée, on trouve que Féquation de la surface prend la forme

(i) aai« + 5p« + CY* + d8* = o,

Il est du reste évident sur cette équation elle-même, qu'elle représente une surface par rapport à laquelle le tétraèdre des coordonnées est réciproque; car l'équation

aa«-{-6p«-)-CY* = o représente un cône dont le sommet est le point * = o, p = o, Y = o>

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR tES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 253

et réquation (i) montre que la surface qu'elle représente est enveloppée par ce cône suivant la courbe dont le plan a pour équation

c'est-à-dire que ce plan a pour pôle le sommet du cône.

267. — Lorsque, dans l'équation d'une surface en coordonnées rectilignes

nous avons introduit la lettre t que nous supposions représenter l'unité, pour rendre l'équation homogène en a?, y, z, t, l'équation obtenue

peut être regardée comme représentant la surface en coordonnées homogènes, le tétraèdre des coordonnées ayant pour faces les trois plans des coordonnées rectilignes et le plan situé à rinfmi; cela résulte de la définition même des coordonnées homogènes.

L'équation d'une surface rapportée à ses plans principaux ou à un système de plans diamétraux conjugués, lorsqu'on y introduit la lettre U devient par rapport aux coordonnées homogènes a?, y, z, t de la forme (i) ; le tétraèdre ayant pour faces trois plans diamétraux conjugués et le plan situé à l'infini est donc réciproque par rapport à la surface. Cela résulte du reste de la définition même du tétraèdre réciproque.

268. — Condition pour qv!une surface de second degré passe par les sommets d'un des tétraèdres réciproques par rapport à une autre surface du second degré donnée.

Prenons pour tétraèdre des coordonnées un tétraèdre réciproque par rapport à la seconde surface, l'équation de cette surface est alors, si l'on veut,

264 LIVRE IV. -— CHAP. m.

et la même (surface rapportée à un second tétraèdre aussi réciproque aura pour équation

et X, Y, Z« T auront en â?« y, £, t des expressions de ta forme

X = mx + wy + pz + 9^

Z = m"x + r^'y + fz + (^'t T = m"'x + if y + fz + (ft.

De là résultent les relations

rfM + wj'n' + »»"n" -f iw"»»"' = «

»»;>+ fn>' + wi'>" + wy == mq + wiV + wi"?" + m"'?" = o nf \ n'p' + ny + rfp" = o

De ces relations, on déduit, en multipliant les équations (2) respectivement par m, m', m", m" et ajoutant

x = toX + mT 4- m'Z + m"T y= nX + nT + n"Z + «"T

z = pX 4- pT + p"Z -f p"T

f = 9X + gT + 9"ZH-?*T.

Si l'équation de la première surface rapportée au premier tétraèdre est

ax* -f by* 4- ^* + <''* + »<'^y 4- . .. = o.