THÉORÈMES GÉNÉRAUX SDR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

son équation par rapport au second tétraèdre sera

(am* + 6n« + cp* + dq* + acmn + . . .)X'

+ (<iwi"* + *n"»-]- )Z«

+ [am'"* + bn'"*+ )T

Désignons par «j, 6,, e^, d^ les coelTicientâ des carrés des variables dans cette nouvelle équation; si l'on fait la somme de ces coefficients, en tenant compte des relations (3) , on a

rtj + *j H- c, + *i =*« + * + <^ + <'^*

Ainsi, quand on rapporte une surface du second degré aux différents tétraèdres réciproques par rapport à une même surface du second degré, la somme des coefficients des carrés des quatre variables dans Téquation est constante.

Pour que la surface considérée passe par les sommets du second tétraèdre, il faut que Ton ait a^ = 6^ = c^ = d, = o, d'où l'on déduit la condition

Si la seconde surface avait pour équation

on ramènerait cette forme à l'équation (i) en posant

a!x^=zx'\ by = y'%

mais alors l'équation (4) deviendrait

256 LIVRE ir. — CHAP. m.

et par conséquent la relation cherchée aurait la forme

Théorème TEI.

269. — Les tangentes menées du centre d'une surface du second degré aux sphères circonscrites aux tétraèdres réciproques par rapport à cette surface^ ont une longueur constante. ]

Prenons en eflfet pour tétraèdre des coordonnées le tétraèdre ayant pour faces les trois plans principaux de la surface et le plan à rinfmi. L'équation de la surface sera alors

et Téquation d'une sphère quelconque

ou

a:« + y« + z* + (a« + ?« + Y^-ry + ...==o,

a, p, Y étant les coordonnées rectilignes du centre de la sphère et r son rayon.

Si Ton appelle T la longueur de la tangente menée du centre de la surface à la sphère, on aura

mais la condition trouvée dans le numéro précédent , pour que la sphère soit circonscrite à un tétraèdre réciproque par rapport à la surface, nous donne

Ainsi la longueur T est constante.