CONIQUES AYANT UN DOUBLE CONTACT

90. — On dit que deux coniques ont un double contact lorsqu'elles se touchent en deux points, et la droite qui joint les points de contact s'appelle la corde de contact.

Théorème I.

100. — Lorsque deux coniques ont un double contact avec une autre conique, deux des cordes communes se coupent au point d'intersection des cordes de contact

Soit S = o l'équation de la première conique ; les équations des deux autres sont, si l'on désigne par y = o et y=o les cordes de contact :

S — ^« = 0, S — ftY s = o- Deux sécantes communes ont pour équations s

éy 1 — AY 2 = ° ou Y

-*'Vr

On reconnaît que ces droites passent par le point d'intersection de y=o et y'=o, et de plus qu'elles forment avec elles un faisceau harmonique dont elles sont deux droites conjuguées.

Théorème corrélatif.

Étant données deux coniques S t et S, doublement tangentes à une troisième conique S, te point de rencontre des tangentes communes aux courbes S et S, , celui des tangentes communes aux courbes S et S 4 , et deux sommets du quadrilatère circonscrit aux deux courbes S t et S 4 , sont en ligne droite. De plus, ces quatre points forment une proportion harmonique.

Théorème II.

101. — Étant donnés une conique et deux points fixes, on considère les diverses coniques passant par ces deux points , et doublement tangentes à la conique donnée : toutes les cordes de contact se coupent en un mime point situé sur la droite qui joint les points fixes.

Car, d'après le théorème précédent, deux cordes de contact quelconques doivent se couper au même point que les cordes communes, et par suite sur la droite des points fixes.

Théorème corrélatif.

Étant données une conique et deux droites fixes, on considère les diverses coniques tangentes à ces deux droites , et doublement tangentes à la conique donnée : les points d'intersection des tangentes communes à ces diverses coniques et à la proposée sont sur une droite qui passe par le point de rencontre des droites fixes.

> Théorème m.