Construire une conique dont on connaît deux tangentes

et trois points.

92 ttVRE I. — CHAP. IV.

On peut tirer parti de ce corollaire pour construire une conique dont on connaît deux tangentes et trois points ou bien trois tangentes et deux points.

Soient oa, o(î les deux tangentes, a, b, c les points donnés (fig. 54) » je décris un cercle quelconque tangent aux deux droites

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Fig. 54.

données. Je mène les droites oa, ob , oc qui coupent le cercle en a", 6", c u : les droites ac, a"c", et les droites bc, b"c" se coupent sur Tune des sécantes communes et la déterminent. On obtient ainsi les deux points p et p' d'intersection du cercle avec la conique cherchée. En considérant les autres points d'intersection a\ &', c' des droites oa, ob, oc avec le cercle, on construit de même la deuxième corde commune, et par suite deux nouveaux points de la courbe cherchée. Ces deux sécantes communes sont réelles, mais les points d'intersection qu'elles joignent peuvent être réels ou imaginaires.

Nous sommes en état maintenant de construire un point quelconque de la courbe et la tangente en ce point. On prend

pour cela un point d" sur le cercle, on mène od" : soit d le point où elle rencontre la courbe. Les droites c"d" et cd coupent pp 1 au même point.

Pour construire la tangente en d, il suffit d'observer que les tangentes en d et d' coupent pp' au même point.

Le point de contact r de la conique cherchée avec la droite oa se détermine de même par cette considération que les droites menées de deux points correspondants des deux courbes aux points de contact r et r' se coupent sur pp'.

Cherchons maintenant combien le problème admet de solutions. On peut faire correspondre les points a, ft, c soit avec a', b\ c\ soit avec a", b'\ c", et il se présente huit combinaisons différentes. Mais ces combinaisons donnent deux à deux la même solution. Car si Ton prend, par exemple, la combinaison a'ft"c", on sera conduit à considérer pour la même solution la combinaison a"b'c\ En sorte qu'il n'y a en réalité que quatre solutions distinctes.

Théorème eorrélaitf.

Lorsque deux coniques ont deux points communs, les points d'intersection des tangentes menées à chaque conique par ces points , et ceux de deux couples de tangentes communes sont en ligne droite.

De plus , si par deux points de la sécante commune on mène deux tangentes à l'une des coniques et deux tangentes à l'autre, le point de rencontre des deux premières tangentes et celui des deux autres sont sur une droite qui passe par le point d'intersection de deux tangentes communes.

Comme cas limite , si par un seul point de la sécante commune on mène une tangente à chaque conique, les points de contact sont en ligne droite avec l'un des points de concours des tangentes communes. Cette dernière conséquence a déjà figuré parmi les corollaires du théorème direct.

94 LIVBE I* — CifAP, IV.

Problème II.

96* — Construire une conique dont on connaît trois tangentes et deux points.

La solution de Ce problème se déduit du théorème précédent, comme celle du problème I se déduit du théorème IV. On décrit un cercle quelconque passant par les deux points donnés. Puis, d'après le théorème précédent, on construit aisément deux tangentes communes, les points de contact des tangentes données , Une tangente quelconque avec son point de contact.

Ce problème, comme le précédent, admet quatre solutions.

APPLICATION DBS CONSTRUCTIONS PRÉCÉDENTES A LA PAftABOLÈ.

07* — Nous savons maintenant construire une section conique déterminée par cinq conditions , quand ces conditions sont des points de la courbe ou des tangentes. Au moyen, des polaires réciproques > on petit construire une parabole déterminée par des conditions de ce genre au nombre de quatre. En effet , la polaire réciproque d'une parabole est une conique pâssaftt par le centre de la courbe directrice. Ainsi la polaire réciproque de là parabole demandée est déterminée par cinq points ou tân~ gentes faciles à construire si Ton prend, par exemple, un cercle pour courbé directrice. On trouvera donc autant de conditions nouvelles qu'on Voudra pour cette courbe polaire réciftfôque, et on en déduira aisément les conditions correspondantes pottr la parabole. Entré autres, on trouvera la direction de Taxe par la considération suivante. Là polaire réciproque passant par le centre du cercle directeur, menons par ce point One tangente â cette courbe. A cette tangente correspond âur là Courbe cherchée un point à l'infini danâ la direction perpendiculaire. Cette direction est celle de Taxe. Quand on la possède, on applique, en les simplifiant, les théorèmes dé Pascal et de Brianchon et leurs corollaires : la simplification tient à ce qu'on

peut, dans le cas de la parabole, supposer que l'un des côtés de l'hexagone inscrit * ou de l'hexagone circonscrit, se transporte à 1* infinie On aura par là des constructions simples de la coilrbe par points.

Théorème V.

68. — Quand deux coniques ont mime foyer, si par ce point on mine deux sécantes, et qu'on joigne par des droites les points où ces deux sécantes rencontrent chaque courbe, ces droites se coupent sur une sicante commune.

Ce théorème est une conséquence du théorème sur les coniques inscrites dans un même angle. En effet, deux coniques ayant un foyer commun peuvent être considérées comme étant toutes deux tangentes à deux droites imaginaires. Les équations de ces coniques sont

On peut les écrire ainsi :

(y + x v/^T) (y — x y/^î) = AS 8 .

On Voit que les deux courbes sont tangentes aux droites

respectivement suivant les droites y = o et 8 = o, qui sont les directrices.

De même si car ce foyer on mène une sécante, et qu'aux points où elle rencontre chacune des courbes on mène des tangentes, ces tangentes se coupent encore par une sécante commune.

Il faut observer que cette sécante commune peut joindre des points d'intersection réels ou imaginaires des deux courbes.

Remarque. Transformons ce théorème par la méthode des polaires réciproques, en prenant pour courbe directrice un cercle décrit du foyer commun comme centre. Nous arrivons à cet énoncé de géométrie élémentaire. Étant donnés deux cercles, si on leur mène à chacun deux tangentes parallèles à deux directions différentes, les points d'intersection des tangentes menées à chaque cercle sont sur une droite passant par l'un des centres de similitude.

En partant de ce dernier énoncé, et le transformant par la méthode des polaires réciproques, on a du théorème précédent une démonstration affranchie de la considération des imaginaires.