RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS EN LIGNE DROITE

1. — On appelle rapport anharmonique de quatre points en ligne droite 9 le quotient du rapport des distances de deux quelconques de ces points au troisième, divisé par le rapport des distances de ces deux mêmes points au quatrième. Ces distances sont comptées à partir des premiers points et affectées du signe + ou du signe — suivant leur sens.

Soient a, 6, c, d (fig. i) quatre « l c 3 points en ligne droite, le rapport

Fig. 1.

ac m ad

bc : Vd

2 LIVRE ï. — CHAP. I.

est un rapport anharmonique ; il en est de même des rapports

ad m ab cd Z cb 9 ab m ac db : Jc y

et des rapports inverses des trois précédents.

Il faut remarquer, dans l'expression de la distance de deux points, que l'interversion des lettres indique un changement de sens et correspond à un changement de signe. Ainsi

cb = — bc.

2. — Quand on connaît un des rapports anharmoniques de quatre points, on en peut déduire les deux autres. En effet, soient u, v, te, ces trois rapports, si on les exprime au moyen des trois longueurs

ab=p 9 ac = q, ad = r 9 on trouve

et si, partant de l'expression de u, on calcule 1 — u, on arrive à

ce qui donne

résultat d'où l'on déduit, par permutation,

RAPPOHT ANHARM0N1QUÊ. S

Ces trois formules montrent que la connaissance d'un des rapports u, t>, te entraîne celle des deux autres, et il en résulte que, si deux systèmes de quatre points, situés sur deux lignes droites, ont un de leurs rapports anharmoniques commun, ils ont tous les autres également communs.

3. — Si l'un des quatre points s'éloigne indéfiniment, chaque rapport anharmonique se réduit au rapport des distances de deux des autres points au troisième, et l'on a

ac cb ab

oc ab ac

4. — Jusqu'ici l'on n'a considéré que des droites et des points réels; mais il est utile d'étendre ce qui précède aux droites et aux points imaginaires.

On sait qu'à deux valeurs réelles des coordonnées & et y correspond un point réel ; par analogie, on dit qu'à deux valeurs imaginaires de ces coordonnées, correspond un point imaginaire; et l'on appelle points imaginaires conjugués, ceux dont les abscisses, ainsi que les ordonnées, sont des quantités imaginaires conjuguées.

Une équation du premier degré

Aj?-f-%+C=o,

à coefficients réels, est vérifiée parles coordonnées d'une infinité de points réels, dont le lieu est une droite ; mais elle est aussi vérifiée par une infinité de Systèmes de valeurs imaginaires de x et de y, et, si l'on attribue à x deux valeurs imaginaires conjuguées, les deux valeurs correspondantes de y sont aussi conju^guées. On dit, en conséquence, que cette équation représente une droite réelle, et que cette droite contient une infinité de points imaginaires conjugués deux à deux.

Par analogie, on dit qu'une équation du premier degré, à coefficients imaginaires, représente une droite imaginaire. U est à remarquer qu'une telle droite passe par un point réel. Soit,

en effet,

(A' + A'ï)x+(B'+B"0y+(C+C"0=o, ou

l'équation d'une droite imaginaire. Cette équation est vérifiée par les coordonnées du point d'intersection des deux droites réelles

5. — Sur une droite réelle, on distingue deux directions; on peut faire la même distinction pour les droites imaginaires.

Soit

Aar + By + C = o,

l'équation d'une droite, a? , y les coordonnées d'un point de cette droite, on a

A(£ — * ) + B(îf — y ) — o, ou bien

et l'on peut supposer a* + 6* = 1 ; car, si cette égalité n'avait pas lieu, il suffirait, pour l'obtenir, de diviser a et b par un même facteur. Or, dans le cas d'une droite réelle, a et 6 sont les cosinus des angles de la droite avec les axes coordonnés, et ces cosinus changent de signe avec la direction que l'on considère, de telle sorte que les deux systèmes de valeurs a et 6, — a et — 6 , déterminent les deux directions de la droite. Pour les droites imaginaires, on dira de même que a et b déterminent l'une des directions, et que — a et — 6 déterminent l'autre.

6, — On sait que, dans le cas d'une droite réelle, si a et b

RAPPORT ANHARMONIQUE. 5

sont pris avec les signes qui conviennent à la direction suivant

laquelle se compte la distance p , t du point

avec son signe, est donnée par la formule

PoM = Fig. 2.

Il en sera de même pour la distance de deux points imaginaires appartenant à une droite réelle ou imaginaire, et il est évident que cette expression peut être prise pour définition de cette distance. On tirerait bien, de la formule précédente

Po

m— ± ^(*i— *o)*+(yi— y%)*>

comme dans le cas de deux points réels; mais cette seconde expression a le désavantage de ne pas donner le signe de p #M .

Les longueurs imaginaires s'ajoutent et se retranchent comme les longueurs réelles ; ainsi

Pwi — PûM + PtV

Cela résulte immédiatement des expressions

Po>t z — j— 9

pi.. - 5— .

x t — x t yr-y,

Po,1 ~ a ~ 6 '

7. — La distance de deux points imaginaires étant définie ainsi en grandeur et en signe, les rapports anharmoniques de quatre points imaginaires en ligne droite se peuvent définir

6 LÏVBE I. — CHAP. ï.

wiame eeux ilç quatre pointa réels , et Ton voit que

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sont lès rapporta anharmoniques des quatre points x et y , a? t éty t , a? t et y,, # f et y s .

La relatipn t? == , se démontrerait de la même façon

que pour des points réels,