PASSANT PAR UN MÊME POINT

8. — Soient OA , OB , OC , OD (fig. 3) , un système de quatre

droites issues d'un même point 0. Coupons-les par une sécante a, 6, c, d. Il est facile de voir que le rapport anharmonique

ac ad bc m bd'

Fig. 3.

est constant, c'est-à-dire indépendant de la position de la sécante.

Pour le démontrer, menons Oh perpendiculaire à ab ; puisque chacune des expressions acxOk, OaxOcxsin AOC, représente le double de Faire du triangle aOc, on a

d'où

ocxOA = Oa X Ocx sin AOC,

OaxOcXsin AOC

ac = : ,

RAPPORT ANHAfiMORlQUE. 7

De cette expression, et de celles qu'on en déduit pour 6c, ad, 6d, on tire

ac m ad Oa.Qc.Ob.Od sin AOC m sin AOD bc l M ~ Ob.Oc.Oa.Od * sin BOC : sin BOD' ou

ac ad sin AOC sin AOD

bc - bd — sin BOC ' sin BOD'

ce qui démontre la proposition.

Ce rapport

ou

ac m

Te :

ad M'

sin

AOC

sin

ÀOD

sin