Un triangle fàant inscrit dans une conique*, si deux
côtés sont taugmfà<à deu&cou** be$ données kk troisième» *ty&-.
loppe W* couvbé tett* quA tes droites qui joignent le* sommet* du triangle, dans une de ses powéioms aux points de contact des côtés opposés se coupent au
Fig.. 55. m rr r
même point*
PROPRIÉTÉS GÉNÉAéUS DES SECHONS CONIQUES. 09
, Considérons en effet deux positions abc, a'b'c' (fig. 55) du triangle, ce qui nous fournit X hexagone inscrit acba'c'b'. Il résulte immédiatement du théorème de Pascal que le point de rencontre p des deux côtés opposés ba' et 6'a se trouve sur la droite wn qui joint les points de rencontre des autres côtés opposés.
Soit p i le conjugué harmonique de p par rapport à a et b'i ce point est évidemment la limite du point (i, intersection des côtés ba et b'a'. Or on sait que si l'on joint ap, , am, 6'n, ces trais droites se coupent en un même point. Donc il en est de même à la limite, c est-à-dire quand les points mnp f sont devenus les points de contact*
Cette propriété nous permet de trouver le point de contact de ab avec son enveloppe, connaissant les points de contact correspondants des droites ac et bc avec les (*>urbes fixes.
Remarque. La droite tpii joint le point de rencontre des tangentes à la conique en a et b au point de contact de ab avec son enveloppe est la polaire du point p; il en résulte que les trois droites analogues se> eowpent au môme point > car en vertu du théorème de Pascal , les trois points p sont en ligne droite.
Étant donné un triangle circonscrit à une. conique , si deux sommets décrivent deux courbes fixes > le troisième décrit une combe telk que les points de rencontre des tangentes A ces trois comte* m trois points correspondants* mec h& côtés apposé* dit triangle, sont en ligne droite.
Cela permet de construire la tangente à la troisième courbe en un point quelconque.
Remarque. Les points de rencontre des mêmes tangentes avec les côtés du triangle inscrit correspondant sont aussi en ligne droite.
Théorème V.
104. — Un triangle variable étant inscrit dans une conique, si deux de ses côtés passent par deux points fixes, le troisième enveloppe une conique doublement tangente à la proposée suivant la droite qui joint Us points fixes.
Menons la droite ab qui joint les points fixes, et par les points
T/ « où elle rencontre la conique, menons les tangentes à cette courbe (fig. 56).
Soient a=o, (3=o et 7=0 les équations de ces tangentes et de la droite des contacts ab.
L'équation de la conique est
Cherchons maintenant l'équation de la droite ci. Les coordonnées des points a et 6 sont définies par les relations
pour le point a, et
Y = o, P — éa =: o
pour le point b. De même celles des points c, d, e, qui doivent satisfaire à l'équation de la conique, sont données respectivement par des relations de la forme
a — my = o ,
a — ny =0
a — ov = o.
Cela posé, l'équation de ce est de la forme
-tnY + x(p--Y) = o.
puisque cette équation représente une droite passant par le point c , et on déterminera X en exprimant qu'elle passe par le point e , ce qui donne :
L'équation de ce est donc
On trouve de même pour de et ci
Exprimons que ce passe par le point a , et de par le point ft, il vient :
d'où:
mp + -=o, n^-J--==o;
A 1 , kla + b)
aop* abp
Portant ces valeurs dans l'équation de cd, il vient :
abp % <* + *P + kp{a + b)f = o.
Pour trouver l'équation de l'enveloppe de cette droite en coordonnées tangentielles , il nous suffit maintenant de l'identifier avec l'équation
vol -f- sp -— y =r ° >
102 tlVBÉ î. <— CfiàP. IV.
et entre les relations obtenues, d'éliminé* j>> on a
abp i
k(a + b)~ T ' C p(a-fi) - *'
d'où;
FS — -
ah
k[a + by
L'enveloppe cherchée est donc une conique ayant un double
contact avec la conique proposée , et la corde de contact est la droite qui joint les points fixes.
Théorème eerrélatlf.
Un triangle étant circonscrit à une conique, si deux de èt$ sommets se meuvent sur deux droites fixes, le troisième décrit une conique doublement tangente à la conique donnée. La corde de contact est la polaire du point d 9 intersection des deux droites données.
Nous pouvons généraliser le résultat que nous venons de trouver > en remplaçant les deux points fixes par deux coniques doublement tangentes à la proposée, que deux côtés des triangles seront astreints à toucher.
Soient en effet o (fig. 67) le point d'intersection des cordes
de contact, et abe une position du triangle ; menons la droite ôa qui rencontre la courbe en d, et la droite db qui rencontre la corde de contact mn en p.
Le point p est fixe, d'aprèsla Fig 57# réciproque du théorème précé-
dent; il en est de même du point q déterminé par l'intersection de cd et de l'autre corde de contact Donc le triangle bcd qui est inscrit dans la conique a deux de ses côtés passant par deux
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SECtlÔNS CONIQUES. l04
points filés p et q. îî ëh réfculle, d'hjfrès le thétirèihe précé'd'étit, que le troisième côté bc enveloppé Utife fcohiqufe doùblemeht tangente à là proposée, âVec la droite pq Jtoïtf corde de contact. On sait d'âillleùï-s déterminer lé JMiit de contact.
On peut enfih ètehdré ce résultât à un polygone d'un nombre quelconque n de côtés, dont n — i côtés sont tangente à n — ï coniques doublement tangentes à la proposée. Le n e côté enveloppe une conique qui est aussi doublement tangente à cette conique.
Car si on décompose le polygone en triangles par toutes les diagonales issues d'un des sommets correspondants au côté libre, on peut appliquer le théorème à chacun de ces triangles successivement et arriver ainsi jusqu'au côté libre.
On a donc le théorème suivant :
Théorème VI.
10é* — Un polygone de n côtés est inscrit dans une conique et n— i de ses côtés sont tangents d n— 1 coniques doublement tangentes ft ta première : 1e n e côté enveloppe une conique qui est aussi doublement tangente à cette conique.
tflUSttrëiàe corrélatif.
Un polygone de n côtés est circonscrit à une conique et n — i sommets décrivait n — i coniques doublement tangentes à la première\ le û* sommet décrit Également une tonique qui M est doublement tangente.
Remarque. Dans le théorème direct, si quelques-unes des coniques deviennent un système de deux droites, ce système de deux droites peut être remplacé par leur point d'intersection, parce que toutes les droites qui passent par ce point peuvent être regardées comme des tangentes au système.
On peut dbnfc remplàtel* un nombre quelconque des coniques
