LIVRE I
CHAP. IY.
doublement tangentes par autant de points fixes, et dans le théorème corrélatif par des droites fixes.
Il peut en être de même pour la n 9 conique, c'est-à-dire que dans le théorème direct, cette conique peut se réduire à un point quelconque du plan, et dans le théorème corrélatif à une droite quelconque.
Théorème 1TCI.
106. — Les droites qui joignent deux à deux les points $ intersection de deux tangentes à une conique avec une autre conique , sont tangentes à une même conique passant par les points communs aux deux premières. Les tangentes ab et a'V à la conique S' coupent la conique S aux
points a, 6, a', V (fig. 58), je dis que les droites ab 1 et ba\ par exemple, sont tann gentes à une conique passant par les points m, n, p, ç, où se coupent les deux coniques, et que les points de contact se trouvent en r et s sur la corde de contact correspondante aux deux tangentes ab et a'b'.
Soient en effet <x=o, (3=o les équaa'=o, (ï'=o celles de aV et 6a'; l'équa-
Fig. 58.
tions de ab et a f b'
lion de la conique S est de la forme
«p — foc'p' = o,
et celle de la conique S', si Ton désigne par y ==o l'équation de la corde de contact, est
L'équation
a p — ty -s o.
obtenue en retranchant membre à membre représente une co-
nique passant par les points m y n, p, q. On reconnaît que cette conique est tangente aux droites a'=o et (î'=o, aux points où elles sont coupées par la droite y=o, ce qui démontre. la proposition.
On verrait facilement qu'il en est de même pour les droites obtenues en joignant d'une autre manière les points d'intersection deux à deux.
Remarque. Les six points de contact analogues à r et s sont en ligne droite.
Théorème corrélatif.
Par deux points quelconques pris sur une conique, on mène deux couples de tangentes à une deuxième conique : les points d'intersection de ces tangentes deux à deux sont sur une mime conique tangente à ces quatre droites.
Remarque. Les six tangentes menées par les points d' intersection se coupent au même point.
Théorème V11I.
107. — Étant données trois coniques S, S M S, passant par quatre points communs, un triangle est inscrit dans S, et deux de
ses côtés sont tangents Vun à S p Vautre à S, : le troisième enveloppe une conique passant par les points communs aux premières.
Considérons deux positions abc et a'fcVde ce triangle (fig. 59).
D'après le théorème précédent, les droites aa\ W sont tangentes à une même conique qui passe par les quatre points communs m, n> p, q. Il en est de même pour ce' : car ce' est tangente à la même conique que bb\ et par suite que aal.
Fig. 59.
ibô iivkfe i. — fcHA*. iv.
DôrïC, eti Véftûflu taême théorème, èiëtet dV àont tâtigerites à titté coriiqtie qui passé pàt les Quatre pditits fo, H, p, g. Cfe thôorêtoë peut feè généralisée de là manière suivante :
Tftéotèifeé IX,
108. — Un polygone de n côtés est inscrit dans une conique i e* n— 1 de ses côtés sont tangmts un — i coniques fixes passant par quatre points de la première : le n e côté enveloppe fine eo* nique passant par les mêmes points.
Car si Ton décompose le polygone en triangles par toutes les diagonales issues d'une extrémité du côté libre, on démontre de proche en proche, d'après le théorème précédent, que toutes ces diagonales et par suite le n e côté enveloppent une conique passant par les points communs aux coniques données,
Théorème corrélatif*
On a n coniques tangentes è quatre droites données. Un polygone de n côtés est circonscrit à la première et à n — î de ses sommets sur lés n*=- i autres * le n* sommet décrit une conique tbngente aux mêmes droites*
Remarque» Il résulte de là que dans le cas particulier où les n— j i coniques se confondent* si l'on cherche la condition pour que le n* côté «oit tangent à la même conique que les autres, ou pour que le n e sommet décrive la même conique que les autres, efette condition sera indépendante de la position du polygone»
CAtf DES CQHlQUÉâ HOMOTHÉTtQUES.
Si deux coniques sont homothétiques, on sait que les termes du deuxième degré sont proportionnels. Considérons deux coniques circonscrites à un même quadrilatère* leurs équations
sont :
af — AyS = o
PROPRIÉTÉS GÉflÉRÀlES DES SECTIONS CONIQUES. itiï
Or les teimeâ du deuxième degré rite peuvent êtitë proportionnels que si y ou 8 est une constante, t*ést-à-dire si Tua des côtés du quadrilatère s'éloigne à l'infini.
Deux coniques homothétiques peuvent donc être considérées comme ayant deux points communs à l'infini.
En appliquait aux coniques homothétiques îe théorème précédent, on obtient l'énoncé qui suit :
Théorème X.
109. — Étant données n coniques homothétiques postant par deux points fixes, si un polygone de n côtés est inscrit dans Vune et que n — x de ses côtés enveloppent respectivement lesn — 1 autres ^ le n e côté enveloppe une conique passant par les deux points fixes et homothétiques avec les autres.
Gomme cas particulier, ce théorème s'applique à des cercles ayant même axe radical.
IftNftblèifee.
110. — Trouver V enveloppé de lé polfàn d'un poifti fixe pêf rapport auto dtiersts toniques qui pastent par Crût* pMnts donnés et qui sont tangentes à une droite donnée.
Soient a=o, (î=o, Y=o les équations des trois côtés du triangle formé par les points donnés, et y = ma + nfî l'éqUation de la tangente fixe. L'équation générale déà coniqùéfc qui passent par leâ points donnés est
et en exprimant que la droite y=m* + *$ est tangente à cette conique, on arrive à l'équation de condition suivante, entre r et s»
|(a) (mr — ns)* -J- î + a(wr -f- ns) = o.
108 UVJRE ï, — CHAP. IV*
Or, nous avons vu (n° 66) que l'équation de la polaire du point qui a pour coordonnées a', £', y', est
ce qui, dans le cas actuel, nous fournit l'équation
« l («T+W + P r (nr + «î + Tf'W + w) = o,
ou, si Ton met r et s en facteurs communs et que l'on pose
P' Ï + T 'P = A, a' Y + ya = B, a'p + p'a = C, (3) Ar + B*-fC = o.
Pour trouver l'enveloppe de cette droite, nous suivrons la méthode indiquée en géométrie analytique : nous éliminerons r et s entre l'équation (2) , l'équation (3) et l'équation qu'on obtient en écrivant que les dérivées partielles par rapport à r et à 5 du premier membre de l'équation (2) sont proportionnelles à celles du premier membre de l'équation (3) prises par rapport aux mêmes variables r et s.
Cette élimination nous conduit à l'équation suivante :
AB — C(An+Bm) = o,
équation qui représente une conique, puisque A, B et G sont du premier degré par rapport aux variables a, p et y.
On voit, sur l'équation même, que cette conique passe par les points d'intersection des droites A==o et B=o, A=o et C = o, B=oetG = o, c'est-à-dire par trois points fixes, indépendants de la position de la tangente fixe. De là ce théorème :
V enveloppe de la polaire d'un point fixe par rapport aux diverses coniques qui passent par trois points fixes et qui sont tangentes à une même droite est une conique passant par trois points fixes.
Le théorème corrélatif peut être énoncé de la manière suivante :
Le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à toutes les coniques inscrites dans un triangle donné et passant par un point donné est une conique tangente à trois droites fixes, c'est-à-dire à trois droites dont la position ne dépend pas de celle du point donné.
Problème,
111, — Étant donnés deux triangles polaires réciproques par rapport à une même section conique.
i° Démontrer que les points d'intersection des côtés homologues des deux triangles sont en ligne droite;
2° Trouver l 'enveloppe de cette droite quand Vun des triangles est fixe et qu'on prend le triangle polaire réciproque par rapport aux diverses coniques qui touchent deux droites données en deux . points donnés.
i° Soient <x=o, p = o, y = o les équations des côtés de
l'un des triangles , et
Aa* + A'p 1 + A Y + aBpf -f aB'ra + aB"ap = o
l'équation de la conique ; le côté du second triangle homologue de celui du premier qui a pour équation y = o est la polaire du point d'intersection des droites a=o et P=o; par conséquent 9 il a pour équation
A" ï +Bp + B'a = o.
L'intersection de cette droite avec la droite y=o peut se représenter par le système d'équations
Bp + B'a = o
44© uvr£ i. — çsàp, w,
oh biea par le systès^ équivalent
Or, k droite représentée par la première de ces équations passe par le point d'intersection de la droite y = o du premier triangle avec la droite homologue du second ; et à cause de la symétrie de son équation, if est évident qu'elle passe aussi par les points d'intersection des droites a = o et (î = o du premier triangle avec les droites homologues du second.
2° Considérons maintenant une section conique varîabte tangente à deux droites ftxeaea deux pointa donnés; pre&ons, par rapport à cette conique, le triangle potekç réciproque d'un triangle fixe, et cherchons l'enveloppe de la droite sur laquelle se trouvent les points d'intersection des côtés homologues des deux triangles.
Les deux droites fixes tangentes à la conique ayant pour équations
aa-j-^P + ^Y = °»
et la droite des contacts
l'équation de la conique variable sera, si Ton d&rgne par k un paramètre arbitraire,
(o« + ip + cfifl* -f W + *'y) - *(«"« + è"p + c"y)« = o.
Sî maintenant on dévefcppe ïe premier mewbr* à& cette quation et qu'on applique fct formule
on trouve pour équation de la droite dont on chercha X enveloppe
fc^+rf-»V l ca' + ac' — fo"6" l «é'+fo?' — Mb"
PQgr obtenir, en coordonnées tengçntiettes , l'équation de cette enveloppe, posons
p{bc' + cV: — kb"c") = q(ca' + ad — AcV) = r(aô' + ôa' — to*"6") ,
et éliminons k entre ces dernières équations. Nous trouvons ainsi, pour équation de la courbe-enveloppe ,
a" [c'\db' + bd) — b"{cd+ wfftqr 1 4* b'' [a"{tof -f cb') ..— *"(«&' -f *<)} 7U0.
Cette équation représente une section conique. Gomme ellç est satisfaite lorsque deux quelconques des variables p % q^r sont nulles, cette conique est tangente aux trois droites qui ont pour coordonnées tangentielles
p^s=e> efe 0=0, f=o et r = o, r = o et p=*o,
ceslhàrdh^ aux droites représentées en coordonnées peetiligne* par le» équations
(j^Qi^es qui ne. sojçLt autre chose que les côtés du triangle foe* Gomme cette même équation est encore satisfaite lprqu'oa. a simultanément
p = af' 9 q = b\ q = c'\ cette conique est tangente à la droite qui a pour équation
c'est-à-dirë à la droite des contacts.
La géométrie montre simplement que la courbe cherchée est tangente aux côtés du triangle. En effet, soit abc (fig. 60) le
triangle donné. L'équation de la conique directrice contenant un paramètre arbitraire, on peut disposer de ce paramètre de manière que la polaire A' du point a, par exemple, passe par le point b. Alors les deux polaires A' et G' coupant leurs droites homologues sur la droite ab 9 la troisième polaire coupe aussi son homolo- Fig. 60. v gue sur cette droite ab 9 et par conséquent
cette droite est une position particulière de la droite mobile qui enveloppe la conique considérée.
La géométrie montre encore, aussi facilement, que la droite des contacts est tangente à la conique-enveloppe. Pour le voir, il suffit de remarquer que lorsque la conique directrice se réduit à une ellipse dont le petit axe est nul, elle se confond avec la droite des contacts et que, dans ce cas, les polaires des sommets du triangle donné se confondent aussi avec cette même droite.
Jusqu'ici nous n'avons fait connaître que quatre tangentes de la conique-enveloppe : il est aisé d'en trouver une cinquième qui achève de déterminer cette conique. 11 suffit pour cela de considérer le cas où la conique directrice se réduit aux deux tangentes données. Alors les polaires des sommets du triangle donné passent par le point de rencontre de ces tangentes, il est facile de les construire, et, par suite, d'obtenir une position particulière de la droite mobile qui enveloppe la conique.
