UVHK IV. — CHAP. VI

différentes formes de l'équation du cône, on sera conduit à des théorèmes sur l'ellipse sphérique. Ainsi, a, p, y f S représentant Içs plans d'un quadrilatère inscrit dans une ellipse sphérique, l'équation du cône peut se mettre sous la forme

ce qui montre que le produit des sinus des distances d'un point de l'ellipse à deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit est dans un rapport constant avec le produit des sinus des distances aux deux autres côtés.

Si a et p représentent les plans de deux tangentes à une ellipse sphérique, y le plan de la corde de contact, l'équation du cône peut se mettre sous la forme

Donc, la moyenne géométrique des sinus des distances d'un point d'une ellipse à deux tangentes fixes, est proportionnelle à la distance de ce point à la corde de contact.

Théorème V.

309. — Les quatre points où les deux arcs cycliques sont rencontrés par deux tangentes sont sur un même petit cercle.

Soient en effet L = o, M = o les plans des deux tangentes, R = o le plan de la corde de contact. L'équation du cône est de la forme LM = R*, nous avons aussi vu qu'elle est de la forme

a et (3 représentant ces plans cycliques ; ces deux équations doivent être identiques. Donc on a identiquement, en supposant qu'on a multiplié les deux membres de la première de ces équations par un facteur convenable, facteur que nous supposerons entrer dans L et R,

**+ y » 4. v r«» «p ^ ut.

CÔNE Et ELLIPSE SPHÉRIQUE. 296

Comme l'équation a(J — LM = o représente Sur la sphère une courbe passant par les quatre points considérés et que l'équation # f + y* + ** — R* = o, qui lui est identique, représente sur là sphère un petit cercle dont le plan est parallèle à R, ou, ce qui revient au même, ayant même pôle que R, on voitjque les quatre points considérés sont sur un même petit cercle ayant même pôle que la corde de contact.

Théorème corrélatif.

Le quadrilatère ayant pour cutis les rayons vecteurs menés des foyers à deux points de l'ellipse sphérique, est circonscriptible à un petit cercle.

MÛ. — Coordonnées sur la sphère. On détermine généralement la position d'un point sur la sphère à l'aide de deux coordonnées que l'on nomme longitude et latitude ; mais dans beaucoup de cas, ce système n'est pas le plus commode.

Un rayon OM est déterminé lorsqu'on

connaît les rapports £ = - > *ï = -

entre les coordonnées rectilignes orthogonales d'un quelconque de ses points. Nous appelons ces rapports coordonnées du rayon ou coordonnées

du point M où le rayon perce la sphère. Projetons le rayon OM

sur les deux plans zox, zoy ; on a

- =s tangCQ; ï = tangCP.

Ainsi, dans ce système, les coordonnées Ç, i\ d'un point M

sont les tangentes des arcs CQ , CP interceptés sur deux cercles

rectangulaires fixes par les arcs menés d'un point quelconque

perpendiculairement aux premiers. Lorsque les axes primitifs

oc u sont- obliques, la signification géométrique des rapports -, -

Fig. Ut.

ne peut plus s'énoncer d'une manière aussi simple , mais ces rapports déterminent toujours sans ambiguïté la position d'un point de la sphère. Une équation f(£. r\) = o représente une courbe tracée sur la surface de la sphère.

L'équation du premier degré

Aé + Bti + C = o devient

kx + By + C« = o.

lorsqu'on remplace les coordonnées Ç, 7), par les coordonnées

rectilignes -, -; cette dernière équation représente un plan

passant par l'origine ; donc la première représente sur la sphère un grand cercle.

En général, une équation algébrique et entière du degré m devient, par cette substitution, une équation algébrique entière et homogène du degré m ; elle représente par conséquent un cône du degré m. Or, si Ton change la direction des axes ox 9 oy, oz sans changer l'origine, l'équation homogène se transforme en une autre équation homogène de même degré en a/, j/', *', de sorte qu'en divisant par z' m , on aura encore une équation du degré m en $', r\ f . Une transformation de coordonnées n'altère donc pas le degré d'une équation algébrique entière, ce qui amène naturellement à la classification des courbes sphériques algébriques d'après le degré des équations.

Au moyen de ces coordonnées , on peut étudier les courbes sphériques de la même manière que l'on a étudié les lignes planes au moyen des coordonnées rectilignes.

fin.

Paris.— Imprimé par E. Tbtjnot fn C%roe Racine t ?6.