Foyer* de F ellipse sphérique. — Nous avons vu, dans
la théorie des lignes focales, que les lignes focales du cône se composent de deux droites situées dans le plan du plus grand angle du cône, passant par son sommet, intérieures à la surface et symétriques par rapport aux plans prin- Fîg. 120. cipaux. Soient OA etOB (fig. 120)
les génératrices du plus grand angle du cône, que nous supposons être dans le plan zx, OM et OM' les deux lignes focales. A un foyer quelconque F correspond une directrice GE perpendiculaire au plan zx, et située dans le plan mené par le point F
perpendiculairement à la ligne focale (n° 276); de plus les quatre points E, F, G, D forment une proportion harmonique (h° 277). De là il résulte que le lieu des directrices qui correspondent aux foyers situés sur OM est un plan perpendiculaire à zx dont la trace 01 est conjuguée harmonique de OM par rapport à l'angle BOA. Ce plan est dit le plan directeur correspondant à la ligne focale OM. A la droite OM' correspond de même un plan directeur 01' symétrique du. précédent
Il y a donc dans l'ellipse sphérique deux foyers situés sur le grand axe; à chacun d'eux correspond une directrice, arc de grand cercle perpendiculaire au grand axe.
Théorème I*
304. — Le rapport des sinus des distances tfun point d'une ellipse sphérique à un foyer et à la directrice correspondante est constant*
Nous savons que le plan mené par le foyer F et la directrice EG est perpendiculaire à la ligne focale OM, et coupe le cône suivant une ellipse dont F est un foyer et EG la directrice. Si P est un point de cette ellipse, on a donc
PF
— — zzz. constante.
PQ
Mais si l'on désigne par a et fi les angles de la génératrice OP avec OF et le plan directeur, par y l'angle du plan de l'ellipse et du plan directeur, par l la distance 0P 9 on a
PF = /sin«, PQ = -: — -.
sin-y
,. sin a
Donc ■ . = constante,
sinp
puisque y est un angle constant. De là résulte le théorème
énoncé,
Pour avoir le théorème corrélatif dans la transformation par les figures supplémentaires, il faut remarquer que les lignes focales d'un cône étant perpendiculaires aux plans cycliques du Côûe réciproque (n # 379), les foyers se transformeront en arcs cycliques; on peut donc énoncer ainsi le théorème corrélatif* 4
Étant donna un point de la sphère et un grand cercle, si un autre grand cerclé se meut de manière que le sinus de V angle qu'il fait avec le plan fixe soit au sinus de Varc perpendiculaire mené par le point fixe dan$ un rapport constant > U cercle mobile enrteloppe une ellipse sphèrique, dont le cercle fisse est l'un des ara cycliques.
Thèorèmfe II.
305. — La somme des rayons vecteurs qui joignent un point quelconque d'une ellipse sphèrique à see deum foyers intérieure est constante*
Pour démontrer cette proposition, cherchons l'équation du plan directeur correspondant à une ligne focale* Ce plan étant perpendiculaire à m, son équation est celle de sa trace sut le plan zx\ c'est l'équation de la droite qui fait avec la ligne focale et les côtés du plus grand angle du cône un faisceau harmonique. Soit le cône
Les lignes focales OM et ON ont pour équations j
les plans directeurs 01 et 01'
xsja'—b* &^c* + b*
Prenons sur une génératrice quelconque du cône un point à une
CÔNE ET ELLIPSE ftPHÉBIQUE. SOI
distance 1 de l'origine; les coordonnées x, j/, z de ce point sont égales aux cosinus des angles que fait la génératrice avec les axes. Les angles ta et to' de la génératrice avec les deux lignes focales sont données par les formules
x y û* — i* -f- z v c* + b % ) 9 ' cos <o'=5s À (— x v^o*— 6" -f * ^c*4- 6 1 ) ;
À étant une constante.
De plus, d'après le théorème précédant, le sinus de l'angle que fait une génératrice avec une ligne focale est proportionnel au sinus de l'angle qu'elle fait avec le plan directeur; on a donc
De ces expressions» m déduit
Mais le point x,y,z étant à une distance de l'origine égale à 1 et sur le cône, on a
Donc
sin (w -j- <o
') = aÀB(a f -f c f ) =
constante,
et par suite aussi
o) -j- u) r = coûtante,
Théorème corrélatif.
La somme des angles que fait une tangente quelconque à une ellipse sphèrique avec les deux arcs cycliques est constante. Ce qui peut encore s'énoncer ainsi :
Une ellipse sphèrique est Venveloppe de la base d'un triangle dont deux côtés sont fixes* et faire constante; les deux cutis fixes sont les arcs cycliques de f ellipse.
Théorème 10.
306* — La tangente à l'ellipse sphèrique fait des angles égaux avec le& rayons vecteurs du point de contact.
Nous avons déjà démontré cette proposition dans le chapitre précédent; mais on peut la déduire du théorème II par des considérations analogues à celles que Ton a employées pour démontrer la même proposition dans l'ellipse plane.
Théorème corrélatif.
Les portions d'une tangente à T ellipse sphèrique comprise entre le point de contact et les deux arcs cycliques sont égales.
Ou bien encore
Le côté mobile du triangle d'aire constante qui enveloppe une ellipse > touche cette courbe en son milieu.
Nous laisserons . encore au lecteur le soin de démontrer les deux théorèmes suivants, par des considérations géométriques analogues à celles que Ton emploie pour les propositions correspondantes dans l'ellipse plane.
I. — Les deux tangentes que Von peut mener d'un point à une ellipse sphèrique font des angles égaux avec les rayons vecteurs qui joignent ce point aux deux foyers.
II. — Le rayon vecteur mené d'un foyer à un point quelconque , partage en deux parties égales, V angle des rayons vecteurs menés
du même foyer aux points de contact des tangentes à V ellipse menées par ce point.
Les figures supplémentaires nous donnent, pour les théorèmes corrélatifs :
I. — Si Von mène un grand cercle sécant quelconque, les portions de ce grqnd cercle comprises entre Y ellipse sphérique et les deux arcs cycliques sont égales.
IL — Si par deux points d'un arc cyclique on mène des tangentes à une ellipse sphérique, la corde de contact divise cet arc cyclique en deux parties égales.
Théorème TV.
307» — Le produit des sinus des perpendiculaires menées d'un point d'une ellipse sphérique sur les deux arcs cycliques, est constant.
Si Ton désigne en effet par a= o, [1= o les équations des plans cycliques, l'équation du cône peut s'écrire
Mais si x, y, z est un point de l'ellipse sphérique, a et p représentent des facteurs constants près les sinus des distances de ce point aux arcs cycliques, x* + y* + z* = r* le carré du rayon de la sphère, le théorème énoncé n'.est donc que l'interprétation de l' équation précédente.
On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante : Si un triangle a une base fixe et que le produit des cosinus des deux autres côtés soit constant, le lieu du sommet du triangle est une ellipse sphérique, dont les arcs cycliques ont pour pôles les extrémités fixes de la base du triangle»
Théorème corrélatif.
Le produit des sinus des perpendiculaires menées des deux foyers sur une tangente à V ellipse sphérique est constant.
