DES

Des fonctions sjmétriques des racines des équations.

1. On appelle /onc^/on d'une ou de plusieurs quan^ tites, toute expression composée de ces quantités, ou dont la valeur en dépend : x«, -L, ,oi* des fonctions de

^' °^"f"^' T^^d' ^*^- ^o^t 'encore des fonctions de or, lorsqu'on regarde les quantités a et è c et ^ comme déterminées ou connues. L'expression àxy~bvconsidérée par rapport aux quantités x et y seules est une fonction de x et j^^ les racines d'une équation /dépendant de ses coefficiens et de son exposant, sont par cette raison des fonctions de ces quantités

Quoiqu'on ne puisse obtenir en général le's racines d une équation que par approximation ou avec des radicaux, il y a cependant des quantités qui dépendent de ces racines, et qui s'expriment d'une manière rationnelle au moyen des coefficiens de l'équation proposée. Les quantités dont je parle sont celles qui renferment toutes les racines combinées d'une manière sem-

Compl.desElém.d'Jlg,

blabîe, soit entr elles , soit avec d'autres quantités, et que pour cela je nommerai fonctions symétriques. L somme des racines, celle de leurs produits deux a deux, trois à trois, etc., données respectivement par ies coefficiens du second, du troisième, du quatrième, etc. termes, sont des fonctions symétriques. ^

On reconnaît en général une fonction symétrique a ce qu'elle ne change point de valeur, quelque permutation qu'on y fasse entre les quantités dont elle dépend.

Les fonctions qui n'ont pas ce caractère , dépendent d'équations plus élevées quele premier degré, parce que c'est une loi bien remarquable de l'Analyse , et une sui e nécessaire de sa généralité , que l'équation d ou dépend la détermination d'une fonction quelconque , renferme toujours toutes les valeurs dontcette fonction estsusceptible,

en y échangeant, les unes dans les autres, les quantités sur l'ordre et la valeur desquelles les conventions n ont rien établi de particulier.

Les questions suivantes , quoique très simples , répandront le plus grand jour sur tout ceci.

i2. Proposons-nous d'abord de trouver deux quantités dont la somme soit p et le produit q.

En représentant par x et par y ces deux quantités , on aura

les deux inconnues .r et^ seront les racines d'une méma équation, parce qu'elles entrent toutes deux de la même manière dans les conditions du problème.

Je suppose maintenant qu'au lieu de chercher immédiatement les quantités x et y , on se borne à demander la valeur de leur diiférence x—y : on l'obtiendra sans

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE; 5

peine, car, en vertu des équations proposées , on aurii

retranchant le second résultat du premier, il viendra a OU

On pouvait prévoir d'avance que la fonction .r — y aurait deux valeurs , et que par conséquent elle dépendrait d une équation du sec<.nd de^ré; car rien dans 1 énonce de la question et dans la manière de la résoudre n'indiquait qu'on cherchât a- — y eu y — x La fonction x^ + y^ au contraire, dans laquelle il esi ind.nerent de changera en ;y, et réciproquement, n'étant susceptible que d'une seule valeur, ne dépendra que dune équation du premier degré. En effet, si de l'éqnation x'-h^xy-^y^^p- on retranche celle-ci 2xy = 2<7, il en résultera '

Ces remarques seront d'autant mieux senties , qu'on sera plus habitué à la marche de l'Analyse.

3. Il est facile de voir que si «, /3, y , ^ et e désignent les racines d'une équation du cinquième de^Té le* «juantités '

«'+ ^"+ '/+ ^+ £* *'+ /3^+ V'-i- J^'+ e3 etc.

*ont des fonctions symétriques de ces racines. Il en serait de même des puissances semblables des racines d'une ^^uatioû d'un degré quelconque. JNewton a donné des

formules très élégantes pour les calculer sans qu'il soît besoin de résoudre l'équation proposée. Ces formules , qu'il ne démontra point, sont de la plus grande importance dans la théorie des équations; je vais y parvenir d'une manière simple, au moyen de la formule trouvée dans le n° i8o des Élémens.

4.Soitx'"H-Px"— 4-Q^'""'-f-^-^'""'--+'^'^+î^=o l'équation proposée; le résultat de la division de son premier membre par x — « , ordonné par rapport à or, sera

puis changeant « en /3, on aura pour le quotient de la division par x — /3,

^m-i^^ jr'"-"-l-/3'

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de même, pour le quotient de la division par a;— y, on trouvera