f2x + 4x='-f-8a;^— 1 5x^ -f- 0^5 4-2x^4- 4a;'' ^ etc

dont les quatre premiers termes annoncent une progression par quotiens ayant q.x pour raison.

Cette remarque est importante, parce qu'elle fait bien voir comment la simple induction, tirée de l'inspection d'un certain nombre de termes , diffère du raisonnement par lequel on conclut d'une suite d'équations dont la forme régulière résulte de la marche du

calcul , la valeur d'un terme général qu'on ne saurait

atteindre. {^Voyez l'observation du n" 80, p. 167.)

. , q' à! c' h' Les quantités — -^j .... 7, -, , 7> P^r

lesquelles il faut multiplier les coefficiens des termes qui précèdent celui qu'on cherche, portent conjointement le nom à' échelle de relation; et la relation constante qui existe toujours entre un même nombre de termes consécutifs de ces séries, les a fait appeler séries récurrentes. L'équation qui termine la page 8 et qui donne

fait voir que la somme des puissances (m + n)'''"" des racines d'une équation quelconque forme une série récurrente dont l'échelle de relation — P, . . . — T, — f/, se compose des coefliciens de cette équation (*),

( * ) Il est à propos de remarquer que le rapport de deux tciines coDsécntifs de cette série, savoir,

Sr^, «'•+■ -f- .s-'+'jf >"+' -y- $•■+•. . .

Sr ~ â-W-'/S-W- >"" -h <f^ • • . '

pouvant être mis sous la forme

approche d'autant plus" d'être égal h * , çpie cette quantité est plus grande par rapport à /S, y, -i^,..., et que l'exposant r est plus fort {Elém. 12G).

Si donc CE. était la plus grande racine de l'e'quatioa proposée, et que toutes les autres fussent réelles, on en trouverait des valeurs de plus en plus approchées, en formant la suite indiquée ci-dessus. Mais ce procède , sujet d'ailleurs à quelques exceptions , étant moins commode que celui du n» 3i5 des Elém. cC Alg. , je ne m'y arrêterai pas. (\oy. le Traité de La Résolution des Equations numériques , parLagrange, note VI.)

En opérant de même sur les sommes des puissances négatives, oa trouvera la pins petite racine au lieu de la plus grande.

20a COMPLEMENT

Une progression par dilTérences est aussi une suite récurrente ; car en écrivant , à la place de la lettre ^(88), la différence de deux termes consécutifs , on aura c=^b-\-b — a-=.2b — a , d=.c-\-c — &=2c — b , etc. ,

ce qui fait voir que l'échelle de relation a deux termes, 2 et — 1.

g4- O^ peut se proposer pour ces séries, comme pour les progressions , les deux questions suivantes : i°. Dé^ terminer r expression d'un terme quelconque , indépendamment de ceux qui le précèdent , ou le terme général. 2°. Trquverla somme d'un nombre quelconque de termes de ces suites. La deuxième question est la plus facile à résoudre; aussi commencerai-] e par celle-là.

Soit A-\-B+C-}-D -{- H+I + K-^L

une série récurrente dont chaque terme ne dépende que des trois qui le précèdent; cet exemple suffira pour montrer comment le procédé s'appliquerait atout autre. La nature de la série proposée fournira les équations suivantes :

pA -\- qB -\- rC -{- sD = o, pB -i- qC -}- rD -i- sE = o, pC -^ qD -{- rE •{- sF = o, pD \- qE -{- rF + .sG t= o,

pli -f (jf/ -f- rK -^ sL = o.

En prenant la somme de ces équations , il viendra

pdA+B^C+D -f//)-f.,;(5-fC+Z?...+/)î ^.

+rÇC+D -i-K)+siD +L)J

et si on désigne par /la somme de tous les termes de la série proposée, on aura

pW—I-K—L) + qif^J^K-L)^ ^ -^rW—A-^B-^L) 4- s{f-^A—B-^C)y

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. ao3

d'où on tirera J ^^^

On voit par conséquent que la somme demandée ne dépendra que des trois premiers termes et des troia derniers.

95. La même méthode , duc à Thomas Simpson , fait connaître aussi la fraction d'cù la série proposée tire son origine. II faut pour cela considérer cette série comme infinie , c'est-à-dire faire abstraction des derniers termes. Dans cette hypothèse , le nombre des

équations

pA -}- qB -{- rC -^ sD = o,

pB -{- qC + rD + sE ~ o, pC -i- qD -h rE -i- sF =: o, pD -{- qE -{- rF -^ sG = o, etc.

devient illimité i en les ajoutant ensemble on a

p(^+5-hC+Z)+etc.)-|-c7CZ?-fC+Z>-hetc.)i ^, -4-r(C+D+etc.)-f<D+etc.) j '•

ce qui donnera

' pf'\-q<J—^)^r(J—A^B)J^,{f—A—B—C)^o ,

si on représente par /la somme de tous les termes de la série continuée à l'infini, ou, ce qui revient au même, la fraction qui l'a produite par son développement. De cette équation , on tire

qA + r{A-hB) + siA-hB + C)^ p-^q + r-\-s

Soit, par exemple, la série

1 + 2x 4- 8x^ -f- 280:^ + loor^ + etc. ,

2o4 com'plément

dans laquelle chaque terme est formé des deux précédens , multipliés respectivement par 2.x^ et par ^x , comme on peut s'en assurer en remarquant que

8a^='=iX2x^+2a;X3a;,28x3=2jcX2x'4-8a;^X3j;,etc., on aura

^=xi, B = ax, C=8x% D = a8x\ etc., C =z ax^A-{-'5xB^ t—2x^^—3xB+C=zo,

D = zx^B-j-5xci ou -j ~ax^B^5xC-\-D=zo, etc. j (.etc.

ce qui donne

et /=

— 2.x'' — 3j? + 1 flx^ + 3a; — i '

et si on développe en effet cette fraction , on retombera sur la série proposée.

96. On peut aussi tirer du n° 93, indépendamment de la considération de l'infini , l'expression de la fraction génératrice d'une série récurrente. Dans ce numéro , l'équation

;;.^^;t^ = ^+^,+ C.> + etC.

ayant conduit aux suivantes , aui — a = o , a'B +h'A—b=o,

81 on substitue dans la fraction — , ,. — — , ■■, , les va-

leurs de a et de è données par ces équations , on

obtiendra

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 2o5

a A -j- {a B -j- b yf)x \ a J

et SI on tait -r = o , — = p , on aura a a

A^iB + q'J)x

Ici la fraction génératrice ne contient plus que les coefficient des deux premiers termes de la série proposée, et les deux termes de l'échelle de relation des coefiiciens de cette série , pour lesquels on a

p'A-\-qD-\-C = o, p'B ^ q'C -\- D= o, etc.

Dans l'exemple du numéro précédent ,

p' = — a, 9' = — 0, et par conséquent