La question proposée est résolue, puisque voilà

DES ÉLÉMENS D*ALGÈBRE. flâS

y CTprîmé en x , c'est-à-dire qu'étant donnés le logarithme X, et celui du nombre e relativement à la base a, on aura le nombre^; mais l'expression de A: en a nous conduit aussi à la solution de la seconde question : étant donné un nombre , trouver son logarithme.

En efFet, si l'on suppose que a soit une quantité quelconque, et que l'on mette pour k la série qu'il représente dans l'équation A 1 e = 1 a , il en résultera

,a=l J(2=l)(ïr:!i- + (f=lï^'>^ +e,c. |. Il a o 4 ' j

Voilà donc le logarithme d'un nombre quelconque a exprimé au moyen de ce nombre et du seul logarithme d'un nombre déterminé e.

Cette série n'est convergente qu'autant que le nombra

a est très voisin de l'unité: mais comme ly a'=-— 1 a

{Èlém.^^i), si on change, dans le second membre, a en ya^ il viendra

Il 2 ' 6 j

or, en prenant pour m un très grand nombre, on pourra

ra

toujours faire en sorte que la quantité V^a diffère aussi peu qu'on voudra de l'unité.

On a ainsi un moyen très simple de calculer le logarithme de a ; car en prenant m égale à quelqu'un des nombres compris dans la série 2, 4j 8, i6, etc., on n'aura qu'à effectuer des extractions successives de racines quarrées {Élém. i53). Cependant ce procédé deviendrait pénible pour les nombres un peu considé-

rables , c'est pourquoi les analystes ont cherché de nouvelles séries qui pussent s'appliquer à ces nombres, séries qui ne sont que des transformations de la première expression de la.

ro8. Le nombre a étant supposé, dans les séries précédentes , indépendant de la base des logarithmes, il est évident qu'on pourra appliquer ces séries à un nombre quelconque j', et qu'on aura en général

x=l^=le{<lfi>- ^>:+l2=^'e,c.}.

En substituant dans cette expression i -f-a au lieu dey, elle deviendra

,0+„)=,e{L'-|+f|+etc.}.,

changeant ensuite u en —u, on aura

( u u^ ïi^ u^ 1

lC-a)=:I.}-----3-^-etc.j;

retranchant le second résultat du premier, on trouvera

série dont la marche est plus rapide que celle des précédentes.

On en trouve une beaucoup plus convergente, en faisant dans celle-ci :

t>ES ÉLÉMENS d'algèbre. 325

ce qui donne

et par conséquent

d'où l'on tire

](n-^-z) = la +

Cette dernière série fera connaître le logarithme du nombre n-)-z, par le moyen de celui de n, et sera d'autant plus convergente , que ii sera plus considérable. Si l'on fait z=: i , on aura le logarithme de /z-j-i > exprimé par la série très sirtiple 1 (n+ 0 = Ira

-^ '^^ {^ + 5 (lïïiTp + 5(^-7?, + ^^'^ j ''

et convergente lors même que n= i.

Dans ce cas, elle donne

série dont le huitième terme ne va pas à 7

en réduisant en décimales tous ceux qui le précèdent , on obtiendra

109. On ne peut avoir la valeur absolue de 1 9 sans fixer celle de ler=l (9,7182818) , qui dépend du svs-^ tème de logarithmes que l'on adopte. L'h^"potbèse la plua simple consiste à supposer le =:: 1 , et on a alors I2 = 0,693147a; Compl. des Elém, d'Alg* i5

GûS COMPLÉMENT

dans ce système particulier, qui répond à réquatio'ïi y=:e^(io6), la base este. Je le désignerai sous le noiii de système népérien, pour rappeler le nom de l'écossais Neper (ou Napier), auquel on doit l'importante découverte des logarithmes; et j'accentuerai la lettre 1 toutes les fois qu'il s'agira des logarithmes de ce système ; ainsi j'écrirai Te =: i , l'a = 0,6931472 (*).

Pour passer du système népérien à celui dont la base serait une quantité quelconque a, il faut se servir de

ly ' l'équation Ly = r=^ (£/é/n. qBo), qui devient dans le

\'z cas actuel, b^r— ; et si l'on fait z = e, on aura

puisque Ye := 1 : il ne restera donc plus qu'à calculer l'a par la dernière série donnée ci-dessus , en y supposant ler=i.

Pour les logarithmes ordinaires, dans lesquels a=io, on observera que io=5. a ; et l'on verra qu'il suffit d'avoir rS , parce que l'io = l'5-f-ra , et que l'a est déjà connu.

Pour parvenir au logarithme de 5, on supposera, dans la dernière série du numéro précédent, 71=4 et 2,=::::i -, et comme \'^ r= al'a , il viendra , en prenant Te = 1 ,

l'5 = .l'.+.{^+iQ)+iQ+etc.}.

(■^) Les logarithmes népériens sont appelés ordinairement /o^arithines hyperboliques; mais celte dénomination est vicieuse, car il n'y a pas de système de logarithmes qui ne réponde à quelqu'une des coiuljes «jue ks géomctves ont ijommées hyperboles.

DES ÉLEMENS D ALGÈBRE. 22/

Les trois premiers termes de celte série suiïisent pour obtenir un résultat exact jusqu'à la septième décimale, et elle donne

en ajoutant à ce logarithme celui de S trouvé plu» haut, on a

l'io = 2,3o2585i,

et par conséquent

^^~ri^ = ^.4342945.

En multipliant par ce nombre, les logarithmes népérien* de 2 et de 5 , obtenus dans le n° 1 08 et dans celui-ci, on trouvera

I2 =:o,3oio3oo et 15=30,6989700,

tels qu'ils sont dans les tables de logarithmes ordinaires.

110.- La quantité le est nommée en général moc?u/e; on voit que celui des logarithmes népériens est 1 , et que celui des logarithmes ordinaires est 0,4342940. On pa^se des logarithmes népériens à des logarithmes quelconques, en multipliant les premiers par le module des seconds , et on revient de ceux-ci aux autres, en les divisant par leur module, ou, ce qui revient au même, en les mul-'

tipliant par ^. Lorsque la base est 10, on a

r- = 2,3o2585i ; le '

c'est par ce nombre qu'il faut multiplier les logarithmes ordinaires , pour les convertir en logarithmes népériens , c« qui est souvent nécessaire.

iii. Borda et Haros ont donné des formules qui

TSaS COMPLÉMENT

expriment, au moyen de séries très convergentes, les relations entre plusieurs logarithmes de nombres consécutifs j et qui conduisent très promptement à ce» logarithmes. Yoici les premières ; on les trouve aussi dans la Préface des Tables trigonométriques déci^ maies calculées par Borda , revues et augmentées par M. Delambre.

Si on forme les produits

(p— jXp— l)(p+2) =:p3 3p^2^

on aura

p^ — "ùp et faisant u = —^ — =- , on obtiendra

d'où l'on conclura

Si l'on prend successivement*

p = 5, p = 6, p = 7 > p = 8, on aura les quatre équations

17^412— 13— 2I3— 2I2 = aie {^ -f etc.},

3124-215— 2I2— 2I7 = 2le {^ 4- etc.},

2I34-2I3+2I2— 15—612 = sle {rgr + etc.}'

15+ 12+217— 13— la— 413 = aie (sii + etc.}^

Ces quatre équations ne renferment que les logarithmes des nombres a, 3, 5, et 7, logarithmes que Ton peut alors déterminer par une simple élimination ; on obtient de cette manière

{ '4{ir + i Ctt)' + ^t^}.

'='-^'M+ 8(^ + 1(^)3 + etc.} [- =(rfT + î (rii)' + etc.}

ef ainsi des autres.

Si l'on prend encore p :^ 1 5 , il viendra

Îi74.2l7-h3-6k=2le{^^-|-i(^)34.etc,];

Enfin on aura aussi, en -faisant p= 1007,

1 1C09 -f- 2I 1006 — 1 icc5 — 2I 1008

^—^ ^^^Lôioâ7aitii "T" 3 V.5 10374161) + etc. ^..

Ces exemples suffisent pour montrer le parti qu'on peut tirer de la formule de Borda.