O,00000 OOOOO 00000 OOOOO OOOOO OOOOO
ii3. Le procédé employé pour résoudre la première des questions posées dans le n" io4, peut servir aussi à déduire immédiatement de l'équation y z—a', le développement de X en y. On peut donner à ce développement la forme
x~A{y—i) + 5(j— 0= + CC^—iy+etc.,.
puisque x doit s'évanouir lorsque y ■= i; et faisant y — 1 z= u , on aura
x—Aa + Bu''-{- Ca^ -f- etc. ;
désignant aussi par \v la valeur de^ — i ou de j/, correspondante à une valeur de x représentée par z, noas aurons également
z = Aw 4- BW^ -f* Cvii^ -j- etc. ,
{*) On trouvera qnelr|iies formules île plus sur ce sujet, dans Vln~ troduction de mou Tra'ué du Calcul différentiel et du Calent
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 20i
et par conséquent
= A-Jf-B{u-^ w) + C(a* -f u\v + w') -f etc.
L'équation y = a^ donne
y — 1 ou u-=.a^ — t, d'où il suit
vv = a' — 1 ef u —w^œ' — a" = a^Ca^~*— i); or, on a trouvé (io4)
x — z a^ [^ -!■ ^-^=p-L^6-+ ("-^- ^X^-^^p^etc. } ;
rirant de cette équation la valeur de , ^. r , on
l'égalera à la série
ji -^ n (a -i- w) + etc.j
supposant ensuite a:=:z, d'où il résulte u=w, on aura
^ + 2/?u 4- 3Cu= + 4Da' + etc. ;
mettant h au lieu de& !--=• r-f- etc. , et i + w
au lieu de a^, il viendra
— -^-— =^+25a-f-3Cii* + 4Da^-f-etc. , k{i-\-u)
ou , en faisant disparaître le dénominateur , et passant tout dans un seul membre ,
Ak -f 2Bku + ZCliu"' -f ^Dkv? + etc. > __ ^
û52 COMPLÉMENT
équation de laquelle on tire
et par conséquent
^ = i {fcrO (y-o: +Lv-'J! etc. |.
Si a est la base du système des logarithmes , on aura donc, comme ci-dessus (108),
Du retour des suites,
Ï14. Le fréquent usage que j'ai fait, dans ce qui précède , de la méthode des coefficiens indéterminés, me permettra d'exposer en peu de mots celle du retour des suites , qui sert à trouver l'expression d'une quantité engagée dans une série dont la valeur est donnée.
Soit yr=ci-^ ax -|- bx'^ + ^^ + ^-^^ + ^^^' 7 pour obtenir x en y, on passera le terme « dans le premier membre, et faisant, pour abréger, y — ei=zz, il viendra
z ■= ax -^ bx^ -|- cx"^ -f- dx'^ -\- etc (i).
La supposition de x-=.o donnant z=o, il est facile d'en conclure que l'on peut faire
x^Az-^Bz"" -{- Cz^ -f Z?z4 ^ etc (2) ;
les coefficiens ^, B, C, £>, etc. , indépendans dez, se détermineront au moyen des équations qu'on obtiendra après avoir substitué au lieu des puissances de x, dans
DES ÉLÊMENS D'ALGÈBRî:. 253
l'équation (i), celles de la série (2) (*), passé tous les ternies dars ii:i seulnunibre, et égale séparémentà zéro les quantités qui mul.'ipliei.t cl.a'que puissance de z. Voici le résultat de la substitution :
ax =aAz + (.ZJz,^ + aCz^ -f- aDz^-^etc.
-f- bBz^
-f rx^= -}- cAz'-\-5cJ'Bz^-\-etc.\ = o.
-i-dx^= + c?^ 2.^+etc.(
En égalant à zéro les coelïîclensde z, de z*, de z,^, etc.; on trouve
aJ—i=o, an-\-bJ^=o, aC-\-ibAB-{-cA"~o^ aD-\-2bJC-^bB^-j-ocJ'B-{-dA^=^o, etc. ;
ces équations donnent
5b'^—bnbc + a*d D= , etc.,
et on a par conséquent
1 b . . zb'^—ac
; 2+ + etc.
Il est à propos de remarquer qu'on pourrait appliquer à la résolution des équations algébriques, dana quelques cas, la série précédente, z désignant alors
( *) Ces puissances peuvent se trouver par des multiplications suc» cessives, ou parles formules du n° 87.
fio4 COMPLÉMENT
le dernier terme de l'équalion, passé dans îè second" membre. Mais on n'aurait , de cette manièi-e , que la plus petite des racines de l'équation proposée , puisque l'expression de x en z décroît continuellement avec z , et s'évanouit en même temps que cette quantité, ce qui réduit l'équation (i) à la forme
o = ax + bx^ + cx^ -f- etc. , sous laquelle elle admet la racine x=:0.
11 5. Proposons-nous pour exemple, de tirer la valeur de X de la série
dans laquelle jy = e'^ (106); on aura
a=y— 1, et
a=i, bz= , c=: =, rt= — -p-=-r,etc.,
d'où on déduira
J=^ly 5=—i, C = i, Z> = — i, etc.,
. ^fci^-^-^nllV^^'- etc., 1 a 0
ce qui s'accorde avec l'expression du n° 1 08 , en y faisant ^ ou 1 e = 1 ,
On tirerait de même la valeur de ^ en x de la série
en supposant y — i=s et z= Jx-^Bx^-\-Cx"^ ~h etc, Je laisse au lecteur à s'exercer sur ce calcul; les.. coelHciens A, D^ C, etc. étant déterminas;, on re-
DES ÉLÉMENS D'aLGLBRË. 235
mettra y — i pour z^ et il viendra
yz=\^Ax+Bx!'-\-Cx^''\- etc.
1 1 G. Si on avait l'équation «ly+z^y^+yy +^^^+etc.=:aj:-h&x*+ca75-f-<^-ï'^+ etc. , formée par deux séries, et qu'on voulût obtenir l'expression de y , on supposerait
y^Ax + Bx"^ Cx^ 4- T>x^ + etc. ,
et on opérerait comme précédemment, après avoir passe tous les termes du premier membre dans le second. Nous insistons peu sur ces calculs, parce qu'ils ne conduisent qu'à des formules dont on n'aperçoit pas facilement la loi (*).
Des fractions continues.
Oeservation. Cet arlicle est, à quelques légers cliangemerisprès,lepremier paragraphe des additions faites par Lagrange à l'Algèbre d'EuIer.
1 17. La méthode exposée dans le n° aai'des Elémens d'Algèbre, pour approcher de la valeur de l'inconnue dans une équation d'un degré quelconque, prescrit de faire successivement
x = a+y y^b-\-y, y'z=b'-\-^, y"=^"+y^ etc.,
(*) On peut voir , dans V Introduction de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral (no 5£)} , à qaoi tient cette difficulté.
s35 COMPLÉMENT
a, b, h' , b", etc. étant les nombres entiers immédîa-n tement inférieurs aux vraies valeurs des quantités x , y, y , y", etc. : si dans la valeur de x on met celle de y, tirée de la, seconde équation , il viendra
substituant dans cette expression, pour y, sa valeurprise dans la troisième équation, on aura
chassant y au moyen de la quatrième équation, on par-» viendra à
et ainsi de suite.
La fraction qui accompagne l'entier a dans cette expression , semblable à celles que nous avons fait connaître en Arithmétique (i63), est une /mctiore continue; et l'on comprend en général sous ce nom toute fraction dont le dénominateur est composé cTun entier plus un& fraction , laquelle a encore pour dénominateur Un en-^ tier plus une fraction, et ainsi de suite.
On rencontre les fractions continues sous deux formes différentes : les unes ont, comme la précédente, l'unité à tous les numérateurs des fractions intégrantes , et les autres ont des dénominateurs et des numérateurs quel*
DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE; sSf
conques; telle est la suivante :
mais je ne m'occuperai que des premières , les autre* étant plus curieuses qu'utiles.
118. Ep rapprochant le ri** i63 de V Arithmétique et les n"' 221 et 243 des Élémens, on voit que les u fractionr n continues se présentent naturellement toutes les fois r qu'il s'agit d'exprimer en nombre des quantités qu'on )i ne peut obtenir que par des approximations succes- )i sives. En effet, supposons qu'on ait à évaluer une Tii quantité quelconque donnée a, qui ne soit pas ex- 51 primablepar un nombre entier-, la voie la plus simple y\ est de commencer par chercher le nombre entier qui rt sera le plus proche de la valeur de a, et qui n'en v> différera que par une fraction moindre que l'unité. )i Soit ce nombre «. , et l'on aura a — a égal à une frac-
)i tion plus petite que l'unité ; de sorte que seraau
O — et
>i contraire un nombre plus grand que l'unité. Soit donc
n =&, et comme h doit être un nombre plus grand
a — c6 JT o
o> que l'unité , on pourra chercher de même le nombre V entier qui approchera le plus de la valeur àeb; et ce •ti nombre étant nommé /3 , on aura de nouveau b — /3 Il égal à une fraction plus petite que l'unité, et par
31 conséquent y sera égal à une quantité plus grande
v> que l'unité, qu'on pourra désigner par c : ainsi, pour y> évaluer c, il n'y aura qu'à chercher pareillement le » nombre entier le plus proche de c , lequel étant dé-
51 signé par y , on aura c — y égal à une quantité plus
5> petite que 1 unité , et par conséquent sera égal
w à une quantité d plus grande que l'unité, et ainsi de 57 suite. Par ce moyen , il est clair qu'on doit épuiser 5> peu à peu la valeur de a , et cela , de la manière la 11 plus simple et la plus prompte qu'il est possible, 5) puisqu'on n'emploie que des nombres entiers' dont )i^ chacun approche , autant qu'il est possible , de la r) valeur cherchée.
iit Maintenant, puisque = 6 , on am'a
a — Ci
a — *=:- et c=:<s+r; o o
v de même , à cause de r = c , on aura
n et à cause de = c?, on aura pareillement
il et ainsi de suite ; de sorte qu'en substituant successiîi veulent ces valeurs , on aura
= « H — , I 51 et en général.
DES ÉLÉMENS D' ALGÈBRE. 2^g
ilg. » Il est bon de remarquer ici que les nombres ri et, fi, y,etc. , qui représentent, comme nous venons jy|ie le voir, les valeurs entières approchées des quan- ^^ités Cl , h , c, etc. , peuvent être pris chacun de deux ^•> manières différentes , puisqu'on peut prendre égale- )i ment pour Ja valeur entière approchée d'une quan- » tité donnée, l'un ou l'autre des deux nombres entier» » entre lesquels se trouve cette quantité ; il y a cepen- •)i dant une différence essentielle entre ces deux may^ nières de prendre les valeurs approchées , par rapport >» à la fraction continue qui en résulte • car si on prend 51 toujours les valeurs approchées plus petites que les v véritables, les dénominateurs /3, y, <^, etc. seront n tous positifs , au lieu qu'ils seront tous négatifs , si i> on prend les valeurs approchées toutes plus grandes » que les véritables, et ils seront en partie positifs et V eu partie négatifs , si les valeurs approchées sont » prises tantôt trop petites et tantôt trop grandes.
51 En effet, si a est plus petit que a , a — te sera ure 55 quantité positive ', donc b sera positif, et /3 le sera 55 aussi i au contraire, a — « sera négatif, si u est plus 55 grand que a : donc b sera négatif, et /3 le sera aussi. 55 De même si /3 est plus =petit que b , b — /3 sera tou- 55 jours une quantité positive ; donc c le sera aussi, et >5 par conséquent aussi y; mais si /3 est plus grand que 55 b , b — /3 sera une quantité négative; de sorte que c, 55 et par conséquent aussi y, seront négatifs , et ainsi y> de suite.
5» Au reste , lorsqu'il s'agit de quantités négatives , 11 i'entends par quantités plus petites celles qui, prises 35 positivement, seraient plus grandes.
a^O COMlf'LÉMENT
lûo. 51 Je dois remarquer encore que si parmi le» 51 quantités a , b^ c, d, etc. il s^en trouve une qui soit » égale à un nombre entier, alors la fraction continue Yi sera terminée, parce qu'on pourra y conserver cette )i quantité même. Par exemple, si c est un nombre en- )) tier, la fraction continue qui donne la valeur de a sera
i\ En effet, il est clair qu'il faudrait prendre y = c, >i ce qui donnerait
n et par conséquent <^J= oo ; de sorte que l'on aurait
oo »> les termes snivanss'é van cuis sant vis-à-vis de la quan-
)) tité infinie oo : or, — = o ; donc on aura simplement ûû
» Ce cas arrivera toutes les fois qiîe la quantité B sera •,■) commensurable , c'est-à-dire qu'elle sera exprimée •f) par une fraction rationnelle^ mais lorsque a sera une r> quantité irrationnelle, alors la fraction continue ira >i nécessairement à l'infini.
{*) Le caractère oo est, comme on voit , celni dont les analystes se servent pour designer une quantité inliaie, ou ce que devieni iiue iiraçùoa dont le de'nowuialeur s'evan'juit (Élém. 68).
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