Snpposoris que Ja quantité a soit une fraction

T) ordinaire —, AeX.B étant des nombres entiers donnéso

5> il est d'abord évident que le nombre entier « q^ui ap-

n prochera le plus de —, sera le quotient de la division

••> de ^ par B; ainsi, supposant la division faite à la y manière ordinaire, et nommant » le quotient et; C " le reste , on aura

•n donc b = — ; pour avoir de même la valeur entière

« approchée j8 de la fraction -^ , il n'y aura qu'à diviser

T) Bpai C, et prendre pour /3 le quotient de cette divi- T) sion; alors nommant Z> le reste, on aura

'•:') et par conséquent

n on continuera donc à diviser C par D , et le quotient f> sera la valeur du nombre y, et ainsi de suite; d'où « résulte cette règle fort simple pour réduire les frac-

V tions ordinaires en fractions continues :

51 Divisez d'abord le numérateur de la fraction pro' •fl posée, par son dénominateur, et nommez, le quotientu;

V divisez ensuite le dénominateur par le reste, et nommez T) le quotient /î; divisez après cela le premier reste par Vf le second reste , et soit le quotient y ; continuez ainsi •,i en divisant toujours l'avant-dernier reste par le der*.

Cçmpl. des £lcm, d'Alg. x6

51 nier, jusqu'à ce qu'il se présente une division qui se « fasse sans reste, ce qui doit nécessairement arriver, 35 puisque les rester- sont tous des numbrei entiers qui 51 vont en diminuant; vous aurez la fraction continue

^■*-^ + etc., )i qui sera égale à la fraction donnée.

122. 11 Soit proposé de réduire en fraction continue r la fraction ^^. On divisera donc iio3 par 887, on 31 aura le quotient 1 et le reste 216 ; on divisera 887 5> par 216 , on aura le quotient 4 et le reste z5; on divi- 51 sera ai 6 par o.'S, ce qui donnera le quotient 9 et le 31 reste 9 ; on divisera encore 33 par 9 , on aura le quo- 31 tient 2 et le reste 5; on divisera 9 par 5, on aura le 33 quotient 1 et le reste 4; on divisel-a 5 par 4> on aura 33 le quotient 1 et le reste 1 ; enfin, divisant 4 par 1, on 31 aura le quotient 4 et le reste nul, de sorte que l'opé- 33 ration sera terminée. Rassemblant donc par ordre tous 33 les quotiens trouvés, on aura cette série : 1, 4j 9> 2^ }3 1^ 1, 4) d'où l'on formera la fraction continue

iq3. 31 Comme dans la manière ordinaire de faire les 11 divisions , on prend toujours pour quotient le nombje )i entier qui est égal ou moindre que la fraction proposée, 33 il s'ensuit que, par la méthode précédente, on n'aura 33 que des fractions cohtinues dont tous les dénomi- 51 nateurs sont des nombres positifs.

DES ÉLÉMEXS D'ALGÈBRE. q/3

« Or, on peut aussi prendre pour quotient le nombre « entier qui est immédiatement plus grand q^e la valeur » de la fraction, lorsque cette fraction n'est pas réduc- » tible à un nombre entier, et pour cela, il n'y a qu'à » augmenter d'une unité la valeur du quotient trouvé à r la manièpe ordinaire; alors le re:,te sera négatif, et le )' quotient suivant sera nécessairement négatif. Ainsi on j-> pourra, à volonté, rendie les termes de la fraction » continue positifs ou négatifs.

» Dans l'exemple précédent, au lieu de prendre i pour îi le quotient de 1 1 oo divisé par 887, je puis prendre 2 ; « mais j'aurai le reste négatif -671, par lequel il faudra « maintenant diviser 887 : on divisera donc 887 par " — 671, et l'on aura ou le quotient —i et le reste 21 G » ou le quotient —2 et le reste —455. Prenons le quo- 5) tient plus grand —1, et alors il faudra diviser le reste' » —671 par le reste 2i6, d'où l'on aura ou le quotient w —3 et le reste —2.5, ou le quotient —4 et le reste y> 1 93. Je continue la division en adoptant le quotient plus 51 grand —3 ; j'aurai à diviser le reste 216 par le reste )> — 23, ce qui me donnera ou le quotient -^9 et le reste » 9, ou le quotient — 10 et le reste —14, et ainsi de suite. « De cette manière an aura

«87---^xH-l ,

. — a-f-etc,

)") ou 1 on voit que tous le^ dénominateurs sont né-^atifs. 104. 5i On peut au reste rendre positif chaque dénor minateur négatif, en changeant le signe du numéra- » teur ; mais il faut alors changer aussi le signe du }-, numérateur suivant; car il est clair qu'on a

* -j- etc. ' jT -f- etc.

Ti Ensuite on pourra , si l'on veut , faire disparaître V tous les signes — de la fraction continue , et la réduire Y) à une autre où tous les termes soient positifs j car on a » en général

y -f- etc. 1

V — 1 -j- etc. ,

51 comme on peut s'en convaincre aisément, en réduisant p ces deux quantités en fractions ordinaires.

p On pourrait aussi, par un moyen semblable , intro- 51 duire des termes négatifs à la place des positifs ; car 31 on a

y -\- etc. 1 ' —

— 1 + etc ;

31 d'où Ton voit que , par ces sortes de transformations, 11 on peut quelquefois simplifier une fraction continue , 51 et la réduire à un moindre nombre de termes, ce qui 11 aura lieu toutes les fois qu'il y aura des dénominateurs 11 égaux à l'unité positive pu négative.

11 En général , il est clair que , pour avoir la fraction 11 continue la plus convergente qu'il est possible vers la 51 valeur dé la quantité donnée, il faut toujours prendre )> pour (c, /3, y, etc. les nombres entiers qui approchent 31 Iç plus des quantités a, b, c, etc. , soit qu'ils soient 11 plus petits ou plus grands que ces quantités : or, il est 11 facile de voir que si , par exemple , on ne prend pas 11 pour « le nombre entier qui approche le plus , soit ■)■> en excès ou en défaut, de c, le nombre suivant /3 sera y) nécessairement égal à l'unité. En effet, la différence )i entre a et « sera alors plifs grande que ^ , par conseil quent on aura b=z plus petit que 2 : donc /S ne

a — ce

}i pourra être qu'égal à l'unité.

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 2.^

V Ainsi, toutes les fois que , clans une fraction con-» y tinue , on trouvera des dénominateurs égaux à l'unité, » ce sera une marque que l'on n'a pas pris les dénomi- » nateurs précédens aussi approchans qu'il est possible, r> et que par conséquent la fraction peut se simplifier en » augmentant ou en diminuant ces dénominateurs d'une î> unité ; ce qu'on pourra exécuter par les formules pré- >' cédentes , sans être obligé de refaire en entier le jx calcul.

125. « La méthode du n° 121 peut servir aussi à l'ér) duire en fraction continue toute quantité quelconque , « pourvu qu'elle soit auparavant exprimée en décimales; r» mais comme la valeur en décimales ne peut être qu'apis prochée, et qu'en augmentant d'une unité le dernier T> caractère, on a deux limites entre lesquelles doit se r) trouver la vraie valeur de la quantité proposée, il »^. faudra , pour ne pas sortir de ces limites , faire à-la- 51 fois le même calcul sur les deux fractions dont il ;■) s'agit , et n'admettre ensuite dans la fraction continue 51 que les quotiens qui résulteront égaleiuent des deux f> opérations, n

Si, par exemple, il s'agit d'exprimer en fraction continue la racine quarrée de 2 , dont la valeur en décimales est entre i,4i42i3 et i,4i4^i4y ^° aura à réduire en fractions continues les fractions ordinaires suivantes : ré^i^ , ^éU ; on trouvera pour toutes deux les 6 premiers quotiens égaux à a -, mais le 7^ serait 3 pour l'une et 1 pour l'autre : on a donc, de. cette manière,

' 2 + KtC.

a^vT CO?.ÎPLÉr.IENT

Au reste , il est à propos de remarquer que, quelque nombre de décimales qu'on ait dans la valeur de la racine quarré de 9 , la fraction continue conserve la même forme, comme on le prouvera plus loin.

ce La fraction décimale qui exprime le rapport de 31 la circonférence au diamètre est, par le calcul

7) de Yiète, 3,i4i5936535 de sorte qu'on aura la

•,1 fraction T^îr^HMt à déduire en fraction continue ■^ par la méthode ci-dessus : or, si on ne prend que la ;■) fraction f^^-|l> on trouve les quotienso, 7, i5,i,etc., n et si on prenait la fraction plus grande jUzîî > on ?> trouverait les quotiens 3, 7, 16, etc., de sorte que le 51 troisième quotient demeurerait incertain; d'où l'on « voit que pour pouvoir pousser seulement la fraction ■0 continue au-delà de trois termes , il faudra nécessaire- )> ment adopter une valeur de la circonférence qui ait 3> plus de six caractères.

■>■) Si on prend la valeur donnée par Ludolph (Vaa >> .Ceulen ) en trente-cinq caractères, et qui est

1-) et qu'on opère en même temps sur cette fraction et )i sur la même, en y augmentant le dernier caractère 8 » d'une unité, on trouvera cette suite de quotiens, 3, 7, ,1 i5, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1,3, 1, 14,2, 1, 1, 2, 2, 2, 9, r 1, 84, 2, 1, 1, i5, 3, i3j 1, 4, 2, 6, 6, 1 ; de sorte 51 que l'on aura

rlrconf. __g^l j

diamètre 7 -} — p , i ,

ib-{-- , I

^ 1 -f- etc.

T) Comme il y a ici des dénominateurs égaux à l'unité, -,) on pourra simplifier la fraction, en y introduisant des

» termes négatifs , par les formules dun° 124, et l'on » trouvera

circonf. 1

diamètre 7 -\ — r: i

/ ib 7 1

ou bien circonf. „ . 1 diamètre 1 -r-n

3 + etc. ,,

^T 3+eto.

126. )î Après avoir expliqué la génération des frac- ,•> tions continues , nous allons en montrer les usages et ■fi les principales propriétés.

« Il est d'abord évident que plus on prend de termes ?» dans une fraction continue , plus on doit approcher de n la \Taie valeur de la quantité qu'on a exprimée par w cette fraction ; de sorte que si on s'arrête successive- 51 ment à chaque terme de la fraction, on aura une suite )i de quantités qui seront nécessairement convergentes p vers la quantité proposée.

» Ainsi , ayant réduit la valeur de a à la fraction con- » tinue

'^ "^ J^ 4- etc. , » on aura les quantités

ot . a. A — , «-j — ,1, etc.

)i ou bien, en réduisant,

ot.% -f- 1 «/Sy + *« -|- y

* ' 'a ' "r, i i J etc.,

;•) qui approcheront de plus en plus de la valeur de a>

^48 COMPLÉiMENT

31 Pour pouvoir mieux juger delà loi et delà conver- 31 gence de ces quantités, nous remarquerons que, par « les formules du n° ii8 on a

«=«+^, ^ = /3 + T, c = y-^^, ^=«^+i, etc. î

51 d'où l'on voit d'abord que a est la première valeur ap-

31 prochée de a ; qu'ensuite, si on prend la valeur exacte

fl de c, qui est — j — , et qu on y substitue pour b sa

w. yaleur approchée /3 , on aura cette valeur plus appro-

)3 ciiee ~ , qu on aura de même une troisième

« valeur plusaprochée de a, en mettant d'abord pour

V b sa valeur e^^acte , ce qui donne

i> et prenant ensuite pour c la valeur approchée y, par )•) ce moyen, la nouvelle valeur approchée de a sera

31 continuant le même raisonnement, on pourra appro-

■33 cher davantage , en mettant dans l'expression de a

31 trouvée ci-degeus, à la place de c, sa valeur exacte

yd-i-i . ,

31 j — , ce qui doainera

il et prenant ensuite pour d sa valeur approchée <^ ; de

V sorte qu'on aura pour la quatrième approximation la

y quantité

[(^/3+l)y-}-.g]i^+flt^-f- I ^^

Cela posé, si l'op représente par

les quatre valeurs approchéeé de a , formées ci-dessu?, on voit aisément que

B ■= ja -^ i, B' = r=y

C z=^ By -h A, C = B'y -^ A',

*t à partir de la troisième ligne de cette suite de valeurs , on reconnaît une loi dont il est facile de constater la continuatioji indéfinie. En effet, la valeur exacte de a, rapportée au bas de la pag^e précédente, devenant par cette notation

Cd + B °' — Cd-\-B' ' donne cette nouvelle valeur exacte,

expression de même forme que la précédente, qui devient la cinquième valeur approchée, quand on y met Ê au lieu de e, et qu'on peut représenter alocs

par -7:7, si l'on fait

E := Dt -i- C, E' — De + C.

La marche de ces calculs ne pouvant plus changer, U s'ensuit que

{C^ + B)e+C De+C

(6'dViy>-f-6' Ue+C '

Le numérateur de l'une quelconque des valeurs çipprochées qu'on nomme aussi fractions convergentes, se forme en multipliant l'entier du dénominateur de la fraction intégrante à laquelle on s'arrête, par le numérateur de la fraction convergente qui précède celle qu'on cherche, et en ajoutant au produit le numérateur de la pénultième; il en est de même du dénominateur.

Les deux premières fractions convergentes vers ~j~ étant j et ^ (122), la règle ci-dessus donnera, povu: la 3^ et la 4%

et ainsi des autres.

a Si la quantité a est rationnelle et représentée par )^ une fraction quelconque — , il est évklent que cette

« fraction sera toujours la dernière dans la série précé- )i dente ; puisque dans ce cas la fraction continue sera )i terminée, et que la dernière fraction de la série ci-

V dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction

V continue.

51 Mais si la quantité a est irrationnelle, alors la frac- 71 tion continue allant nécessairement à l'infini, on pourra 31 aussi pousser à l'infiiii la série des fractions conr> vergentes.

i!:>y. » Examinons maintenant la nature de ces frac- 31 tions; et d'abord il est visible que les nombres^, 33 B, C, etc. doivent aller en augmentant, aussi bien 33 que les nombres J' , B' , C, etc. ; car, 1°. si les 33 nombres «, /2, y, etc. sont tous positifs , les nombres 33 A, B, C, etc.. A', B', C, etc. seront aussi tous po- )3 sitifii , et l'on aura évidemment

B>A, C>n, D>C, etc..

DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. ùDl

M el

B' — o\i'>A', C>B\ D'>C, etc.

» 2°. Si les nombres «, /S, y, etc. sont tous ou en partie 11 négatifs , alors parmi les nombres yi, B, C, etc. , et 51 A\ B', C, etc. il y en aura de positifs et de né- 5> gatifs ; mais dans ce cas , on considérera que l'on a en 13 général, par les formules précédentes,

V d'où l'on voit d'abord que si les nombres «, /3, y, etc. •>•> sont dilTérens Je l'unité , quels que soient d'ailleurs » leurs signes , on aura nécessairement, en faisant abs-

T> traction des signes , — plus grand que l'uniié ■ donc — yi Z>

Y) moindre que l'unité, par conséquent — plus grand que

yi l'unité, et ainsi de suite ; donc B plus grand que A ^

n C plus grand que B , etc.

n II n'y aura d'exception que lorsque parmi les

•>•> nombres *, /3, y, etc. il s'en trouvera d'égaux à l'unité.

•>"> Supposons, par exemple, que le nombre y soit le pre-

51 mier qui soit égal à zt i ; on aura d'abordé plus grand

M que A , mais Csera moindre que B-, sil arrive que la

51 fraction — soit de signe différent dey, ce qui est clair

>i par 1 équation — = y -f- -— , parce que dans ce cas

n y + — sera un nombre moindre que l'unité : or je

5> dis qu'alors on aura nécessairement Z>plus grand que » B\ car puisque yz=:±i, on aura (12G)

c=:±:!-f-j et c — •.-, = 3:1:

5' or, comme cet d sont des quantités plus gcandes que )' l'unité (n8), il est clair que cette équation ne pourra )> subsister, à moins que c et rfne soient de même signe ;

V donc, puisque y et (^ sont les valeurs entières appro- » chées de c et d, ces nombres y et l devront être aussi

■)•> de même signe; mais la fraction — = y + — doit

« être de même signe que y, à cause que y est un nombre

A )' entier, et — une fraction moindre que Tunité; donc

'^ B ^^ seront des quantités de même signe ^ par con-*.

n sequent — sera une quantité positive. Or, on a

n donc , multipliant par — , on aura

, èC , ,

)î donc — étant une quantité positive , il est clair que

iJ- y; sera plus grande que l'unité \ donc D sera plus

5» grand que B.

n De là on voil que s'il arrive que dans la série A, B, f> C, etd. il se trouve un ternie qui soit moindre que le 51 précédent, le terme suivant sera nécessairement plus 51 grand; de sorte qu'en mettant à part ces termes plus r petits, la série ïie laissera pas d'aller en augmentant.

V Au reste, on pourra tonjours éviter, si l'on veut, )•> cet inconvénient, soit en prenant les nombres «, /3, îi y, etc. tous positifs , soit en les prenant tous dilTérens

V de l'unité, ce qui est toujours possible.

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. 255

n On fera les memeà raisonnemens par rapport à la

T» série A, B\ C , etc., dans laquelle on a pareillement

-^ = /3, ^ = y + ^, =^-^, etc.;

îi d'où l'on déduira des concluiions semblables aux prér cédantes, n

128. Maintenant, si on élimine /î entre les équa-tiens qui donnent B et B' (page 249), (en observant d'écrire B' :=. A' ^^ , puis y entre les équations qui donnent C et C , et ainsi de suite , a on trouvera BA' — AB' = 1 , CB' — BC = AB' — BA\ D C— CD' —BC — CB\ etc . ; n d'où je conclus qu'on aura en général BA' — AB' = i , CB' — BC = — 1 , DC — CD' = 1 , ED' — Z>£' *= — 1 , etc.

t Cette propriété est très remarquable , et donne lieu à •fi plusieurs conséquences importantes.

51 D'abord on voit que les fractions -—,, -jrf j jr,, etc.

ji doivent être déjà réduites à leurs moindres termes; car

f> si, par exemple, C et C avaient un commun diviseur

îî autre que l'unité, le nombre entier CB' — BC serait

•n aussi divisible par ce même diviseur, ce qui ne se peut,

5") à cause de CB' — BC = — 1 .

■>•) Ensuite si on met les équations précédentes sous

r> cette forme :

etc. ,

V il est aisé de voir que les différences entre les fractions 5> voisines de la série -,-,—, ^, ^ etc. vont continuel-

V lement en diminuant, de sorte que cette série est ■)•> nécessairement convei'gente.

V Or, je dis que la différence entre deux fractions 51 consécutives est aussi petite qu'il est possible , en sorte Y) qu'entre ces mêmes fractions il ne saurait tomber au- •)•> cune autre fraction quelconque, à moins qu'elle n'ait i-> un dénominateur plus grand que ceux de ces frac- )' tions-là.

V Car prenons, par exemple, les deux fractions " 'C^^'D" *■ "'"^l'ence est -— -, et supposons »

» s'il est possible, qu'il existe une autre fraétion — dont

)i la valeur tombe entre celles de ces deux fractions , et ij dans laquelle le dénominateur n soit moindre que C

T> ou que ZT; donc puisque ~ doit se trouver entre —

Il (jt

V et — , il faudra que la différence entre - et -^ . qui ^ n C .

mC—nC nC—mC

nU °" 'nC ' ^'^^^ ^ petite que

" CV7' ^^^^^^^^^ ^'^tre j- et — ; mais il est clair que

" ^^C — TnC ne saurait être <i , et que par conseil quent la dilTérence ~ "~— ne peut être moindre

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE, 2o5

» que— 7^; donc si n ' D', cette diiïérence sera nénC

)> cessairement plus grande que -^^rry \ de aiême la dif-

V rerence entie — et —7 ne pouvant être plus petite

)•> que —=p , sera nécessairement plus grande que ^ ,

p si «<^ C, au lieu qu'elle devrait être plus petite.