En classant par périodes , dans lesquelles re

DES ÉLÊMEN'S d'aIGÈBRE. OlD

viennent lés mêmes restes , la suite des puissances d'un nombre , ce qui précède fournit le moyen d'obtenir les restes des puissances très élevées; car si l'on demande, par exemple, dans la progression

5°, 5', 3^, 5^, etc. ,

le reste de la division du terme 3'°~ par i3, on cherchera d'abord à quelle puissance on a l'unité pour reste en divisant par :3, et on trouverait 27 ou 3^; on aura par conséquent ainsi de 3 en 3, l'qnité : divisant donc icco par 3, le reste 1 marquera le rang que tient 3'"=^ dans la période , et qu'il laisse le même reste que 3' ; donc ce reste sera 3.

Tout ce qui précède suppose seulement que p soit premier par rapport à ^ : ce qui suit ne s'applique qu'aux nombres absolument premiers.

i65. Si p est un nombre premier qui ne divise point a, et a* ie terme du plus petit exposant, pour lequel on ait a' = Ep4-i , l'exposant t sera ou p — i , ou un diviseur de p — 1 .

On a déjà vu que / ne peut surpasser p — 1 ; il reste à montrer qu'il doit diviser p — 1.

Soient d'abord 1, », «", etc. les restes des termes

le nombre de ces restes n'étant égal qu'à t, ils ne comprendront pas tous les nombres 1, 2, 3, . . .p — i , dans le cas actuel, où l'on suppose t-K.P — 1 • i^» sont d'ailleurs tous dilférens , puisque s^l y en avait deux pareib pour deux termes a'", a", antérieurs au terme a', il s'ensuivrait que a" — e'" = a'"(a"~'" — 1') serait divisible par p, ou que g"""'", divisé par p, laisserait

3l4 COMPLÉMENT

l'unité pour reste, ce qui ne peut arriver dans l'intervalle de 1 à a*.

Soit jS un des nombres de la série 1,2,.. .p— 1> non compris dans la série 1, u\ «", etc.; si l'on multiplie chaque terme de celle-ci par /3 , on formera la série

/3, «/S, «"^, etc. ,

dont la division par p conduira à une nouvelle série de restes que je représenterai par

/î, ^', ^", etc.,

tous difFérens , 1°. entre eux, 2°. avec les restes 1, «', es", etc., dont « désignera un quelconque.

La première assertion se prouve en multipliant par ^ les deux équations

correspondantes à deux termes de la période 1, a,

a'~', on aura

/Sa-" = ^Ep -f- «yS , /Sa-"' r= liE'p -f- « /3 ;

or, si les nombres «/S , «'/3 , divisés par p , laissaient le même reste /s', il viendrait

«/3 = ep + /3',

/Sa" = iSf"/; -h ep + /S',

et comme /3 n'est pas divisible par p , il faudrait que la différence a'"' — a"* le fût, ce qui est impossible dans l'intervalle de 1 à a'.

DES ÉLÉMEXS d'aLGÈBRE. 3i5

La seconde assertion s'appuie sur ce que si l'un des

nombres de la série /S', /S", etc. était le même que

quelqu'un de ceux de la série i, à , ce", etc., on aurait

en même temps

a" = £p + « et liaT' = ^E'p + /3«'= E'p -f u \

or, cela ne peut être quand m'<;7n, parce qu'il en résulterait

a'"— /3a'"'=:/7(^— £"), ou a'"'(a'"-''''--/S)— p(E— .E");

il faudrait donc que c'"-'"' — /3 fut divisible par y\ et comme le terme «'"—'"' ne peut laisser pour reste qu'un des nombres i , «', «", etc. , il faudrait que la différence entre /3 et ce dernier, fut divisible par p, ce qui ne peut être, puisque tous deux sont moindres que p.

Si jn^m, on considérerait alors le terme a'"^"", qui laisse le même reste que a*", et on aurait

a'-^^ — fia^' =p{E-^E"), d'où

or, t -\- m — ni<Cit dans cette hypothèse; ainsi l'absurdité est encore la même que dans le cas précédent.

La série /3, /à', /3", etc. n'aj^ant aucun terme commun avec la série i , «', «", etc., elles contiennent ensemble un nombre Q.t de termes.

Si ces termes n'épuisent pas les nombres 1,2,. .p — 1 , on multipliera les termes de la série 1, u, u,",.... par y, l'un de ceux qui manquent, et on aura un nombre t de résultats,

7 , f^y , «"y , etc. ,

qui conduiront à t restes

y, y', y", etc.

difFérens , i°. entre eux , 2.°. avec les ternies de la série ^} «') «", etc. , 3°. avec ceux de la série /3, fi', /S", etc. Les deux premières assertions se prouvent comme précédemment; la troisième se vérifie en observant que si l'on avait en même temps les équations

/Sa" = Ep -{- 9>\ ya^'=. E'p-\- iS',

il en résulterait, si m'<^m,

^ga-" — ya"^' — p(E — E'), G-"' (^a'"-"" — y) = p{E — E') ,

^a""-'"' — y serait par conséquent divisible par p; et comme ^a'""'"' donne pour reste un des nombres de la série ^, ^' , etc. , moindre quep, il faudrait que la difTérence entre un de ces nombres et y , aussi moindre que p , fût divisible par p , ce qui ne se peut.

Quand m'^ m, on considère le terme a'"^'", qui donae le même reste que a"*, et on a l'équation

absurde par les mêmes raisons que la précédente.

Et joignant les t termes compris dans la série y y y , etc. avec ceux des séries précédentes , on a en tout 3f de nombres distincts , tous entiers , tous moindres que p.

Si les nombres 1 , 9,. . .p — 1 , ne s'y trouvent pas tous compris , en prenant un de ceux qui manquent , on formera ime nouvelle série ei,tièrement diitincte des trois précédentes , contenant t termes ; et en continuant, puisque rien ne s'y oppose, de procéder ainsi , il faudra bien qu'on épuise , par un nombre multiple de t , ceux de la série 1 , 2., . . . p — 1 , qui

DES ÉLÉMEXS d\\LGÈBRE. Ol^*

n'en renferme qu'un nombre limité : donc t sera un diviseur de p — i .

1 G6. La quantité étant un nombre entier, si on

élève les deux membres de l'équation

a' r=3 Ep -}- i à la puissance marquée par ce nombre , il viendra

a ' =aP-' = iEp+i) ' ;

tous les termes du développement de cette puissance, excepté le dernier , qui est i, seront divisibles par p, ainsi Ton aura

d'où il suit que ie nombre a.^~' — i est divisible par U, nombre premier p lorsque a ne l'est pas. Théorème dû à Fermât, et qui a conservé le nom de ce géomètre.

167. Il existe des nombres tels , qu'aucune de leurs puissances , dans les degrés inférieurs à p — i , ne donne pour reste F unité , lorsqu'on la divise par p.

Soit a, b, c, etc. les facteurs premiers de p — 1 ,

et lë y .

en sorte que abc etc. = p — 1 ", on va montrer d'abord qu'il existe des nombres yi , B , C, tels, que

leurs puissances A'^ , B" , O , sont celles du degré le moins élevé qui , dans la division par p, laissent 1 pour reste , et ensuite que le produit ABC de ces nombres est tel , qiie (ABC etc.)'^' est celle de ses puisiances du degré le moins élevé, sur laquelle la division parp laisse i pour reste.

Ol8 COMPLÉMENT

Comme depuis o jusqu'à/? l'équation py-=zx^" — 1 n'admet au plus que m valeurs entières pour a;(i54)»

il s'ensuit que si l'on considère la quantités * — i , il y aura nécessairement dans la série i, 2, 3, . . .p — 1, un nombre qui , mis à la place de x , ne rendra pas

a: ^ — I divisible par p.

Ce nombre aura également la propriété de ne pas

rendre x '"^ — 1 divisible par p , car s'il satisfaisait

à la condition x "" — i = Ep, il satisferait aussi à p—i

Soit g ce nombre; on aura g ''* ^=Ep'^h (*), E désignant toujours un entier; et en élevant à la puisât sance a les deux membres de cette équation , il

viendra

g-P-' = ( £'/7 + hy* =E E'p -f h''*,

E' désignant aussi un entier.

Ainsi g-P~' — h!^ est divisible par p\ mais par le théorème de Fermât (166), g étant premier à p, g''^' — i est divisible par p , ou g-^"' est de la forme E"p -f- 1 ", donc

(*) Il faut observer qu'ici, et clans tout ce qui suit , la lettre ^ a pour exposant la liactiou place'e au-dessus.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 3ig

d'où

et par conséquent h^ — i est divisible par p. Les puis- «ances a , a , etc. , de h , pour lesquelles P—i g ^ = iEp+hy*~'= ETp + /z"*"',

g «" = {Ep-\-hy*^= E""p,+ A^*-",

etc. , «

ne remplissent point cette condition, puisque les quanp— I p—x

tités g • , . . . ^ " , etc. , par hypothèse , ne la remplissent pas; mais d'après le n° i65, le plus petit exposant de la puissance du nombre h, qui rend la

quantité h* — i divisible par p, doit diviser a , puisque

«" — 1 est divisible par p; or a étant premier, a ne peut être divisé par d'autres nombres que a et ses puissances , mais ce ne peut être aucune de celles qui sont inférieures à la puissance «, puisqu'on vient de voir

que h^ — 1 ne saurait être divisible par p , quand P— i

g ** ne l'est point : donc t =. a*; donc le nombre h,

reste de la division de g "* par p, est le nombre A demandé. On trouverait de même des nombres B , Cj etc.

Maintenant, puisque les nombres

SgÔ COMPLÉMENf

sont de la forme Ep -^ i , leurs puissances et les produits de ces puissances seront aussi de la même forme (i63), et par conséquent

sera aussi de cette forme; et de plus, p — i sera le plus petit exposant qui rend {ABCy — i divisible par p. En eff^t, si l'on suppose que le produit des nombres Ay B, C, soit tel, que {A B C)' = Ep -{• i , t étant moindre que p — i , il faudra que t divise p — i ,

ou que '- soit entier ( i65 ) ", et puisque

P — i ■= a b c , le quotient ne peut être qu un des nombres a, ô, c, ou un de leurs multiples.

Soit, par exemple, =7m; on aura p — i =iiat,

dou^- .-=«; ainsi f divisera ^^ : dans ce cas,

Elll

et en vertu de l'hypothèse, {ABC) " — i sera divisible

parp (i63); mais puisque B, C, séparément, sont

tels que

B'^^^Ep+i, 0'^=E'p+i,

le produit ^^^-'^^^^C'-'^'^^^^C^C) « =£V+i; p—i ]y—\

et si {ABC) « =£'>+!, il faut que ^ « =E"'p-\-i, p—j

car A " =:zE"'p-]-h donnerait

{ABC) « =(E"p-^i){E"'p-^h) = E'y-{-h;

DES ELEMENS D ALGEBRE. ^21

or, A ttant tel , que A" — i est divisible par p , il faudra, par le n' i65, que a divise , ou que

soit un entier, ce qui est impossible, puisque

p — I abc 0 ( -

; — = 7— =• : on ne peut donc pas sup-

poser f d'un degré inférieur àp — i.

i68. Il suit de là que si on désigne par ^ le produit ABC , ou le plus petit reste de la division de ce produit parp, ou enfin un nombretel, que^'^'ensoit lapuissance la moins élevée de la forme Ep-\-i , les restes de la di\isiou par p des puissances

êr°» 6". t> g'. • • • ê:'^^

comprendront tous le% nombres i, a, 3, . . .p — i ; mais dans un ordre différent de l'ordre naturel.

6i , par exen)ple , p = 19 , on pourra prendre g^r=2, et en divisant les diverses puissances de ce nombre par 19, on formera la table suivante :

Puissances. 2', 2', 2% 2', 2^, 2^ 2^, aJ , a«,

Restes. 1, 2, 4, 8, 16, i3, 7, 14, g,

Puissances. 2?, 2'°, 2", 2'^ 2'^ 2'^ 2'^, 2'^ 2'%

Restes. 18, 17, 1 5, 11, 3, 6, 12, 5, 10.

Il y a entre ces restes et les exposans auxquels ils correspondent, des relations analogues à celles des nombres et de leurs logarithmes , et Euler a désigné sous le nom de racines primitives j par rapport au nombre p , ceux dont les puissances fournissent tous les restes i, 2, 3, p — 1; de cette manière 2 est

Compl. des Élém. d'Alg. ai

racine primitive à l'égard de iq. La nîênie racine primitive peut convenir à plusieurs nombres premiers , et le même nombre premier a le plus ordinairement plusieurs racines primitives. On n'a pas encore de procédé pour trouver directement ces racines ; mais Lagrange , dans son Traité de la Résolution des Equations numériques (p. 278 de la a" édit.), en a donné une table pour les nombres premiers jusqu'à dj, à cause de leur usage dans la résolution de l'équation xP — i =0, découvert par M, Gauss , et qu'il a lui-même beaucoup simplifié, en le combinant avec la méthode exposée dans les n°' 20 et 24 ; voici à peu près comme il procède.

1G9. Soit l'équation

xP — 1=0 (1),

p étant un nombre premier; si l'on en ôte le facteur X — 1 , on aura seulement à résoudre l'équation

xP-'-\-xP-^ J^xP-'^ 4-1—0, (2)

dont les diverses racines se déduisent des puissances d'une seule (17), en sorte que si l'une quelconque de ces racines était désignée par r, les autres seraient r^, r^,. . . .rP~^ Mais si a représente une des racines primitives du nombre p, on trouvera aussi toutes les racines de l'équation (2) dans la série

puisque les exposans de r, divisés par p, laisseront pour restes tous les nombres entiers, depuis 1 jusqu'à p — I (168), les seuls dont il faille tenir compte, à cause que ?•'' = 1 , en vertu de l'équation (i). Substituant donc aux racines x\ x", x", etc. , dans la fonc-^ tion t' du n'' 23 , les puissances de r prises dana l'ordre

bES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 3^

indiqué ci-dessus , et changeant m en p — i , on aura

t étant une des racines autre que i , de l'équation ^^'— 1 r= O.

Cela posé , si dans l'expression de / on change ;■ en r", elle deviendra

pt comme a^"', divisé par p, laisse i pour reste , la

puissance r° sera équivalente à r, ce qui changera l'expression ci-dessus en

résultat qui est le même que celui qu'on déduirait de la première valeur de t, en la multipliant par «''~^, et en observant que «p~' = i -, on aura donc

Changeant r en r'^ dans cette dernière expression, on verra de même que c'est comme si on l'avait multipliée par «P~', que le résultat est par conséquent la valeur de €tP~^t, et qu'il naîtrait aussi du changement de 7'en r'^" dans la première valeur de t. Un nombre p — 2 de pareils changemens successifs , épuisera tous ceux qu'on peut faire en substituant à r ses diverses puissances, puis-

qu'elles reprennent les mêmes valeurs à partir de r^ On formera donc ainsi les valeurs desp — i fonctions

t, aP-H, ctP-^t,.... ut,

dont la puissance p — i sera la fonction fl, qui aura par conséquent la propriété de conserver la même valeur, lors-

qu'on y changera ren r", /^\ r^ , etc. Son expression/ développée suivant les puissances de et rabaissées audessous du degré p — i, sera de la forme

1 4- «r + «H" . . . . -f. «p-^ICp--:) ^

où les fonctions |, |', |", etc. , ne contiendront que des puissances entières et positives de ?', et demeureront les mêmes, lorsqu'on y changera r en r^, r'**, etc. (24)> propriété qui en simplifie considérablement l'expression.

170. D'abord, il est évident que toute fonction rationnelle et entière de r, peut être réduite à la forme

A + Br-\- Cr-" + Z)r ■. . . . + Pr^-' ,

quand r^^=zx , et qu'ainsi elle peut encore être mise sous la forme

lorsqu'on substitue aux exposans 1 , 2, 3,....p — i , les puissances de a , dont ils dérivent comme restes de la division par p- seulement l'ordre de succession des puis- •sances n'étant pas le même que celui des restes , les coeiFiciens B, C, D ,.... P, changeront de place, en passant d'une forme à l'autre-, Z>', par exemple, sera l'un de ces coefficiens, mais non pas le même que B.

Si maintenant la fonction dont il s'agit doit demeurer la même , lorsqu'on y changera r en r^, ce qui est le cas des fonctions | , |', etc. , il faudra que l'égalité

A^B'r-^ Cr"- + D'r^' . . . . + /^'r'^''" = AJ^ B'r'^ -h Cr"-^ + D'/'\... + P'r

ait lieu indépendamment de r, et que par conséquent

T>rs ÉLÉMENS d'algebre. 3a5

valeurs qui réduisent à

A^n'ir-hr^-hr^'-hr''' +f^''*)>

la fonction proposée, ou bien à

si l'on désigne par s la somme de toutes les racines de l'équation (2).

Il suit de là que les fonctions |, i', etc. seront connues immédiatement ; car le développement de 6 ou de /''"' donnera les coefTiciens A et B' , et on a s= — i, puisque le coefTicient du second terme de l'équation (a) est + 1 . La fonction 9 étant donc ainsi déterminée ,

r-» on pourra, au moven des p — 1 valeurs de y 6 , former les valeurs de r, par le procédé indiqué dans le n° 25; Usera donc toujours possible de résoudre algébriquement l'équation xP — 1 ^=0 , ^ étant un nombre

premier y lorsquon aura les racines de l'équation

yP-'-.i=0.

171 . La démonstration de ce théorème est le résultat le plus important de la méthode précédente; car, pour les applications numériques , on a , depuis long-temp^, un procédé beaucoup plus commode ( voyez la note de la page 119); je n'entrerai donc pas dans le détail des abréviations dont cette méthode est susceptible , à cause quep — 1 esttouioursunnombre composé (26). On ks trouvera dans l'ouvrage de Lagrange (*) ; je me bor-

( *) On prouverait, par leur moyen, que les racines de toute

2'+ I c'fpuition de la forme x — 1=0, lorsque son exposant est un

nombre premier, ne dépendent que d'c'quations du second degré' ,

et que par conscqnent on peut effectuer, avec la règle et le compas>

la division du cercle en a" + 1 parties égales.

^iiS COMPLÉMENT

neraî au développement d'un exemple très simple , destiné seulement à particulariser les indications générales du n° précédent.

L'équation x^ — 1=0 étant ramenée à

x^ -i- x^ -{- x^ -\- X -i- 1 =0, et la racine primitive de 5 étant 2. , on aura

ce qui revient à

en abaissant au-dessous de 5 le dernier exposant de r> et ec étant une des racines autres que l'unité, dans l'équation y^ — 1=0.

En effectuant le développement de i^, dans la forme

on trouvera

d'où

puis mettant pour a ses trois valeurs, qui sont

— 1, +v/=^, -/^, (Élém. ibs), on trouvera

I^e procédé indiqué dans le n* 25 , fournit les équations

t»T.S ÉLÉMENS û'ALCtBRE. 627

V/«^= x' + .Sx" -f ,3^x" -f /Slv'^

qui, jointes à IV'qiiation

A = X -h x' + x" + x'\ donneraient

^ + 1/»^+ V'^+VT' = 4x' - 4r ; et par conséquent

mais comme chacune des expressions \^ t\ \/i", l/*'"' est susceptible do quatre valeurs , l'emplni de toutes ces valeurs en ])ro(1uirait ()4 P<^"r l'inconnue r, entre lesquelles il faudrait faire un choix, par des considération'i analogues à celles qui termintrut les n*^* 19 et ao. Lagrange ne 5'étant pas rappelé cette circonstance , a donné, ?ur la page 284 de son ouvrage, un résultat inexact; mais on est dispensé de tout examen ultérieur, quand on cherche les racines communes aux équations

r^-\-r^ + r-rr + 1=0, et

Lorsqu'on fait « = — 1 , t =:[/&' = y' b , on ti-ouye le facteur commun

SaS COMPLÉM. DES ÉLÉM. d'ALC

d'où on tire

r = ^(— 1+ {/b ±.\/—Q\/b—io):

En prenant t = — yS, ce qui revient à changer le signe de y S , on obtient

r = l (—1 — v/5 ± \/ri/5— lo).

Ces valeurs et les précédentes sont celles que, par la méthode indiquée n° 26 , Lagrange a obtenues à la page 233 de son ouvrage, et que donne aussi la méthode du n° 56.

172. Ce qui précède sufTit pour montrer l'importance et la difficulté de la théorie des nombres ; les lecteurs qui voudront s'en instruire à fond , pourront consulter l'ouvrage où M. Legendre a, le premier, réuni cette théorie en un corps de doctrine complet, et les Disquisitiones arithmeticœ de M. Gauss. Les premiers maiériai]-5r de cette théorie sont l'ouvrage des plus grands géomètres de notrp siècle , qui ont démontré la plupart des propositions dont Fermât ne nous avait laissé que les énoncés : leurs travaux sont consignés dans les Recueils des Académies de Paris , de Berlin et de Pétersbourg.