Soit, par exemple , la suite

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, etc.,

formée des puissances du nombre- 3, et qu'on divise chacun de ses termes par le nombre premier 7, oq

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 5u

aura les restes ci-dessous,

1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, etc.,

où l'on voit revenir, après 6 divisions, le premier reste i . Dans cet exemple , la période des restes embrasse tous les nombres inférieurs au diviseur, ce qui, dans d'autres cas, n'a pas lieu. Dans la progression

1 , 2 , 4> 8> i^> ^2, etc. ,

par exemple, les restes de la division par 7 étant seulement

I, 2, 4, 1, 2, 4, etc.,

reviennent après trois divisions , nombre qui est diviseur de 6, c'est-à-dire de 7 — 1 . La généralisation de ces remarques donne les théorèmes suivans : Dans la suite des puissances ,

il existe, outre le premier terme, un terme a} , qui, divisé par un nombre p, premier à la lase a, laisse t unité pour reste, t étant moindre que p.

C'est-à-dire que, E désignant un nombre entier quelconque, on a

a' = iT/j -h 1.

Soit en général a"" = Ep -{- a ; en donnant à m un nombre de valeurs égal à p, on doit rencontrer au moins deux fois une même valeur de «, puisque» est un entier <'p. Soit dore m' la valeur de m, qui donne cette répétition , et E' la valeur de E , qui lui correspond ; on aura

mais comme a n'est pas divisible par p, a'" ne le sera pas non plus {Élém. 97); et puisque (£' — E)p l'est 3 il faudra que a*"'""' — 1 le soit : donc a'"'"'" — 1 est de la forme Ep , et a""~'" de la forme jEp + 1 .

Il est visible que m — Tn<Cp; en partant du premier terme i=a°j on rencontrera donc le terme g""'"", avant d'avoir atteint l'exposant p.

Par exemple , dans la progression

2°, Q.\ 2% 9^, etc. ,

on a 2'* = 4o9^3 <l"i > divisé par i3, laisse i de reste.

i63. En partant du terme a'=Ep + 1 > on trouve

û' = Ep -{- i , a'-^^= aEp + a, a'-*-''=a'Ep + a% a'^^—a?Ep + c^ etc. ;

d'où l'on voit que les restes reviennent les mêmes que ceux des puissances a, a% a^, . . . jusqu'à a'~' inclusivement; ainsi tous les restes que peuvent fournir les différens termes de la suite se présentent dans l'intervalle

On peut encore voir immédiatement que le terme g"' est de la forme Ep -j- 1 ; car en faisant a*:=.Ep-\-i , on trouve

ce qui revient à la forme indiquée.