DÉMO

La troisième suite pro posée, ayant pour terme général n(n+i)(n ra n° + 5n+on

TÉ à ë » peut se décompo-

ser en trois autres, dont les termes généraux seront è n° 3n° on ; sp :

respectivement —, —, —; et il est aisé de voir que

6:27 16 ® ® 3 les sommes de ces suites auront pour expressions F ?

35, 26, Cu 6:

proposée sera 5 Ss+35,+28,. nf+6n+rin+6n n(n+1)(n4+2)(n+43) 6 Er 24 1 1.2.8.4

Les suites que je viens de sommer font partie de celles qui sont comprises sous la dénomination de nombres Jigurés, à cause de leur rapport avec certaines figures de géométrie. On voit que la somme de chacune est la même chose que le terme général de la suivante ; en sorte que la seconde est formée des sommes partielles de la première, la troisième l’est de celles de laseconde, et ainsi des autres (*).

, et que par conséquent celle de la suite

(*) La première suite de cet article est celle des zombres naturels, la deuxième, celle des nombres triangulaires, la troisième,

celle des nombres pyramidaux.

La somme de deux termes consécutifs de la série des nombres

\ ; ja 20 \ (n—1)n n(n+1) triangulaires est tOuJOUrS Un QUATTÉ ; CA ——— À ——— —n3s, * . 2

Le terme général de cette série exprime aussi Ja somme de la suite naturelle des nombres, depuis 1 jasqu’à z (91); et étant élevé au quarré, il donne la somme 4; de leurs cubes.

En prenant, au lieu de la suite naturelle des nombres, d’abord

la progression par différence, 1,9 SVIRDRS commencant encore par l’unité, mais dont la raison est 2, les

sommes partielles formeront la suite

1, 4, 9, 16,.... des nombres quarrés où quadranguülaires;

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 201 Des Séries récurrentes.

93. On a vu, ( Élémens , 235 ) la progression par quotient , ,

a + aq + ag + aq° + etc.,

naître du développement de la fraction ; ceci con-

RG!

duit naturellement à examiner les séries qui peuvent résulter du développement d’une fraction quelconque.

Supposons d’abord qu’on ait la fraction ; pour

prenant ensuite la progression

dont la raison est 3, les sommes partielles formeront la suite 1, D, 12, 22,.... des nombres pentagonaux ;

et en continuant ainsi, on obtiendra les sombres polygones , qui sont, comme on le voit, les sommes d’une progression par diffé rence, ayant pour premier terme l’unité, et pour raison le nombre des côtés du polygone diminué de deux unités.

Si l’on désigne ce nombre par €, et qu’on fasse a=1;, d=c—2, l—=1+(n—1)(c— 2)

dans la valeur de $, du n° 88, on trouvera

= nn + —— (c — 2)

Si [2 + (n — 1) (e — »)]

pour le terme général des nombres polygones.

Quant à leur interprétation géométrique, on peut, consulter la note de l’article 432 du premier volume de l’Æ/gèbre d'Euler, ou l’article FGurÉ, dans le Dictionnaire de Mathém. de l'Encyclopédie méthodique (tome II, page 20). .

la développer, on peut se servir de la formule du binome,

LJ A n .

puisque — a(a + b'x)"', ou bien encore

supposer que

a 7" = À + Bx + Cx° + Dax + Ext + etc.

a + b'x + + + + + ) les lettres 4, B, €, etc., désignant des coefliciens indéterminés. En multipliant les deux membres par a+ 0'x, et passant tous les termes dans un seul, on aura

d'A + d'Blx + a Clx? + 'D|x ee LEA — a + DAT Æ D'Bl + BC + etc.f cette équation devant avoir lieu, quelque valeur qu'on

donne à x, il faudra égaler séparément à zéro les coefliciens de chaque puissance de x, ce qui donnera

d'A — a —=o, A = ai a

a'B + LA o, B MST a d’où b

aC+bB—= oo, ON pra We À à | b'

D + b'C—= oo, D = — m0;

etc. A etc.

et on voit que chaque coefficient de x, de la suite

A+ Bx + Cx° + Dx$ + etc., est formé, dans le cas

actuel, de celui qui le précède, multiplié par la quantité k |

— =7, ou que: chaque terme est le produit de celui qui b'x

le précède par — —-.

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 203 Soit encore

a + bx es B C w D 3 TC? :

dE b'x + c'x? A + x + x° + Dx + etc :

en opérant sur cette fraction comme sur la précédente, il viendra | d'A + ME + a'C\x’ + a D|x$ Æ etc.

—a + Db'A| + DB, + DC +Hetc.: —o, — b + CA + c'B] + etc.

et on aura par conséquent

d'A—a—0o, h (A—=S, | a a'B+b'A—b —o, NES mate: À

Re RANIP LV"

DRAP» dede eric ete, a'D+b'C+cB— 0, D — ira etc. ) nt TG:

Ici chaque coefficient, à partir du troisième , est déterminé par les deux qui le précèdent, multipliés respecti- / /

; c vement par les quantités ——, —-;, et par conséquent | a a

chaque terme de la série se forme des deux précédens, cæ b'x

ST —— CAM. Tes «a

multipliés respectivement par — :

Enfin soit, pour dernier exemple,

a + bx + cx° de A+ Br Crtt Dette.

on trouvera, dans ce cas, que le coefficient d'une puissance quelconque de x dépendra des trois qui le pré-

/ cèdent, multipliés respectivement par les quantités — mL

after Ban L' qu'un terme quelconque de la suite

sera formé par les trois précédens, multipliés respecti- Er c'at b'x vement pAX ——,.— — a a Il est facile de conclure des exemples ci-dessus, qu'une fraction rationnelle de la forme

a+bx +cx?.....+ part

d'+bx+ex.....+par + gx"?

engendrera une suite dans laquelle le coefficient d'uu terme quelconque dépendra d'autant de coefliciens précédens qu’il y a d'unités dans le plus haut exposant du dénominateur. Il faut cependant observer que cette loi ne commence qu'après un nombre de termes égal à cet exposant.

Les termes précédens peuvent présenter des lois très diverses ; et l’on se tromperait grossièrement si l’on appliquait à toute la série, ces lois, particulières à ses premiers termes. Par exemple, si l’on développe la fraction

rat 3x + 7x? + 15x° 1H x + xt a + 24?

on formera la série

1+ 0x + 4x? + 8x — 1bxt + x$ + 2x6 4x7 LH etc., dont les quatre premiers termes annoncent une progression par quotient ayant 2x pour raison.

Cette remarque est importante , parce qu’elle fait bien voir comment la simple induction, tirée de l'inspection d’un certain vombre de termes, diffère du raisonnement par lequel on conclut d’unesuite d'équations dont la forme régulière résulte de la marche du

RE ) Fe (8

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 205 calcul, la valeur d'un terme’général qu'on ne saurait atteindre. (Z’oyez l'observation du n° 80, p. 171.) |

Re g' d' af b'

Les quantités MM T2 D re, Tags Nat lesquelles il faut multiplier les coefliciens des termes qui précèdent celui qu'on cherche, portent conjointement le nom d'échelle de relation; et la relation constante qui existe toujours entre un même nombre de termes consécutifs de ces séries, les a fait appeler séries récurrentes.

L’équation qui termine la page 8 et qui donne

Sratn = — APE nr core LS us — US,,

fait voir que la somme des puissances (m + n)“"# des racines d’une équation quelconque forme une série récurrente dont l'échelle de relation, —P,... —7T,—U, se, compose des coefficiens de cette équation (*).

(*) Il est à propos de remarquer que le rapport de deux termes

consécutifs de cette série, savoir,

Dogs anti Bts pr Arte.

Sn. a HE +y +"... f pouvant être mis sous la forme Br+x yr+: d'r+:

art: ar+i arts a RACE DA A dipr Où (9 +7 Ê +L+ 2. j, approche d’autant plus d’être am à æ, ee cette quantité est plus grande par rapport à 8,7, à, etc., et que l’exposant r est plus fort (lilém. > 126).

Si donc + était la plus grande racine de lPéquation proposée, et que toutes les autres fussent réelles, on en trouverait des valeurs de plus en plus approchées, en fort la suite indiquée ci-dessus. Mais ce procédé , sujet d’ailleurs à quelques exceptions, étant moins commode que celui du n° 215 des Élém. d° Alg., je ne m’y arréterai pas. (Voyez le Traité de la Résolution des Équations numériques, par Lagrange, note VI.)

En opérant de même sur les sommes des puissances négatives, on trouverait la plus pétite racine au lieu de la plus grande.

Une progression par différence est aussi üne suite récurrente ; car en écrivant, à la place de la lettre d (88), la différence de deux termes consécutifs, on aura

c—=b+b—a=2b—a, d—c+ce-b=—9c—b, etc.;

ce qui fait voir que l'échelle de relation a deux termes , 2 EL —1,

94. On peut se proposer pour ces séries, comme pour les progressions, les deux questions suivantes : 1°, Déterminer l'expression d'un terme quelconque, indépendamment de ceux qui le précèdent, ou le terme général; 2°, T'rouver la somme d'un nombre quelconque de termes de ces suites. La deuxième question est la plus facile à résoudre ; aussi commencerai-je par celle-là.

Soit A+HB+CHD......+H+<I+HKEL une série récurrente dont chaque-terme ne dépende que des trois qui le précèdent; cet exemple suffira pour montrer comment le procédé s’appliquerait à tout autre. La nature de la série proposée fournira les équations suivantes :

pA + 9gB + rC + 5sD = 0; pB + qgC+rD +5sE = 0, pe +gD+TE +sF = oo, pD+gE+rFæ+sG= oo,

DEA Or + rX + sL = o, En prenant la somme de ces équations, il viendra P(AHB4CHD...+H)+q(B+CHD ET) = + r (C+4D....+K)4s(D..,.... + L) et si l’on désigne par f la somme de tous les termes de la série proposée, on aura MA DIT Re + Ad BD) +sQ—A4= BON TT

| DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE, 207 d'où l’on tirera, PCR -RL) GA KL) HA BEL) HS AR BEC) Pp+qg+r+s

On voit par conséquent que la somme demandée ne

dépendra que des trois premiers termes et des trois derniers,

95. La même méthode, due à Thomas Simpson, fait connaître aussi la fraction d’où la série proposée tire son origine. Il faut pour cela considérer cette série comme infinie, c’est-à-dire faire abstraction des derniers termes. Dans cette hypothèse, le nombre des équations

pA + gB +rC+sD = o, pB + qgC+rD+sE =,

| pC + qgD +TE +sF = 0,

pD + gE+rF+sG—=o, etc.

devient illimité; en les ajoutant ensemble, on a

p(A+B+C+D+etc.)+q(B+C+D+etc.) 1=o +r(C+-D+etc.)+5(D+ etc.)

ce qui donnera

Pf+qU—A)Hr(S —A4—B)+s(f—-4—5—0)—0, si l’on représente par f la somme de tous les termes de la série continuée à l'infini, ou, ce qui revient au même, la fraction qui l’a produite par son développement. De cette équation , on tire FRA LÉAERE) RSA B + C) ” pars

Soit, par exemple, la série

1 + ax —- 8x + 287$ + ou etc.,

dans laquelle chaque terme est formé des deux précédens, multipliés respectivement par 2x° et par 3x, comme on peut s'en assurer en remarquant que

8x1 X27 or x3x,28x— PRET RAP etc.,

on aura

A1, B=ox, C—=6x", D'=68r "etc,

DSP A MOTTE T —22" A—5xB+C—0o, D—2xB+3xC, { ou | —22x* B—8xC+D—o, etc. etc.

ce qui donne

PE 22,410 ee OL + A SENTE

et f 1— x T— 1 92 —5x+i1i 22457 — 1” et si l’on développe en effet cette fraction, on |retom= bera sur la série proposée. ve

96. On peut aussi tirer du n° 93, indépendamment de la considération de l'infini, l’expression de la fraction génératrice d’une série récurrente. Dans ce numéro , l'équation

a + bx ————— —= À + Bx + Cx° + etc.

ayant conduit aux suivantes,

dA—a—=o ; dB + b'A—b—o, Et CL. A de me:

si l’on substitue dans la fraction Etre les

valeurs de a et de b données par ces équations, on obtiendra

D. cash dHbz+kc ar. (BA RE Fe .…. b° use"

et si l’on fait rR do — p', on aura

A+ (B+gA)x 1H gxhp'a

Ici la fraction génératrice ne contient plus que les coef-

ficiens des deux premiers termes de la série proposée,

et les deux termes de l’échelle de relation des coefli-

ciens de cette série, pour lesquels on a

pPA+gB+C—=o, | PBÆgC+D—o,

etc.

Dans l’exemple du numéro précédent,

AN LI , Dia, p——2, j = — 3, et par conséquent , | A+(B+ Az . 1—x

Deprate pla (Tr DT ans!

comme ci-dessus.

Si l'on fait g——2,p—1, on trouvera:

D of x (1 — x})°

pour la fraction génératrice d’une progression par dif-

férence quelconque (93) considérée comme infinie , les

coefliciens 4 et B' se déterminant par les deux premiers termes de cette progression. P

On construirait de même des formules pour retrou-

yer la fraction génératrice. des! séries récurrentes dont

Compl. des Elém. d'Alg. 14

219 COMPLÉMENT ‘échelle de relation contiendrait un plus grand nombre de termes.

Ce qui précède.suppose que la série proposée soit ordonnée suivant les puissances d’une même quantité x; si l’on avait la série purement numérique

1 Lo +8 +028 + 100 Hetc., il faudrait prendre à sa place la suivante, 1 ox + 8x° Æ 28x° + 100% etc., qui rentre dans la série proposée, lorsqu'on fait, = 1,

En rapprochant ceci de l'expression de Sn: (93): on trouvera facilement la fraction dont elle dérive.

97. Je passe maintenant à Ja seconde question, qui a pour objet la recherche du terme général (94). Pour donner une idée de la manière dont elle peut se résou-

dre, examinons quelques-unes des séries récurrentes les plus simples. La Mt est celle qui tire son origine

de la fraction -——-— Faut Fz et qui revient à une progression

par quotient dont la raison serait — rie et le premier

que le terme général, celui dont - rang est +. par n, doit être

Pas di a ab y

le fsigne supérieur ayant lieu lorsque mt Sera Pia, et le “signeiinférieur dans le cas(contraires | : On:donnera à ce résultat mne forme plus simple, en

/ a / CN À 7 | Ml 4 , Mt AP là fraction. proposée, la sé-

f , [#4 Fa aisant Re rie qui en dérive et le: terme général de cette série

deviendront alors