AL
DAT. « a+ x? Fe 98. Vient ensuite la série qui résulte du dévelop-
a + bx pod 57 —7#@©, fraction qu'on a+ b'x + c'x°? q
a Bb.
peut écrire comme il suit, Mr céeul faisant, pour
TT ra b d b°
se
, a LA ’ abréger, 74, 7 =, =) 7 =, elle se chan-
2 + 8x La É) D PC Er ae Si p et q désignent les deux
axtTt
ax & X æ æ dr
pement de ja fraction
gera en
racines de l'équation du second degré x°+ 8x +a'=—0,
la quantité x°—+ Lx + «! sera le produit des deux facteurs æ—p et x —q; on aura donc
a+ £8x chant a + 8x "4 Hate (pa) (q—0 Ïl est naturel de penser qu’une fraction dont le déneminateur est composé de plusieurs facteurs simples, peut résulter de la réduction au même dénominateur ét de l'addition des fractions ayant ces facteurs sim ples pour dénominateurs ; et c’est ce qui se voit de la manière suivante, On suppose
æ + £x dE | Q Pa) Ga pa qe P et Q étant des quantités indéterminées et idépen-dantes de x ; en réduisant au même dénominateur les deux fractions du second membre; on trouve
«8x = (Pq + Qp) = (P +
ce qui-aura lieu, quel que soit x, si 4 — Pq + Qp et 8——(P + 0Q); et pour remplir ces conditions, il suffit de déterminer, par les équations ci-dessus , les quantités P et © : on trouvera
æ + 8p bee a + 8q PAG Au moyen de ces valeurs, on aura
apr CON CUR Q:%
Hbc px q—x
et comme chaque fraction du second membre peut se développer dans une série ordonnée suivant les puissances de x, il s'ensuit que la somme des termes qui se correspondent dans ces séries, sera égale au terme qui occuperait le même rang dans la série résultante du premier membre; le terme général de cette dernière s’obtiendra donc en ajoutant ceux des deux premières, T1—1 et sera, d'après ce qui précède, — Via Il suit encore de là que la série résultante de deux progressions par quotient , ajoutées terme à terme, est ré-
currente. | 9. Dans le cas où l'on aurait p = g, c'est-à-dire, où les deux facteurs du dénominateur seraient égaux entre
ET ; ! LL ve eux, on ne saurait décomposer la fraction — mr
P / en deux autres de la forme x e ;, car on P—x pe
trouveräit | )
et l’on voit que cela doit être ainsi, parceque les deux
(@ Laver ps s’ajoutant iimédiitdment, ne peuvent donner qu'un résultat semblable à chacune, et non pas semblable à la fraction proposée : il faut
donc alors tenter une autre décomposition.
Li 9, . À a 4 4] 1 .
On voit d'abord que la fraction — ads équivaut aux
“ —ÿ? er Di’ et que la dernière,
L . 0 . B 5 pe en s’écrivant ainsi, ——- x ———-, revient à T—p x—p
fractions -
deux ps COTE À
puisque
on tire de là
&H£8x CIRE Gp}. et + +r æ + 8p B
rs =
Nous voilà donc parvenus à substituer à la fraction proposée deux autres fractions dont les numérateurs sont indépendans de x. Le développement de la première est
Ca+6p)(pay = CFP ne nn)
serie dont le terme DE est évidemment Ce + 6p) nav TAN BAR Dee )
et celui de la seconde fraction étant exprimé par
LR | Ê -, il en résultera
[= su — 1) 2]: 54 k
pour le terme général de la série donnée par la fraction
a +pr G—p)
100. Il me reste encore un cas à examiner, celui où les racines de l’équation x°+ 8x + & — © sont
imaginaires. Les facteurs x —p et x— q devenant ima- T—1 x 1
Px | ES F8 frouve compliqué d’imaginaires , mais qui ne sont qu'appa-
rentes , et se détruisent mutuellement, lorsqu'on réduit
Pzxrr!1 ODET
FY 4 A Là 4 les quantités prop qi au même dénominateur,
ginaires , le terme général
et qu’on développe les puissances indiquées. En effet, si l’on met pour P et Q les valeurs trouvées précédemment, qu on rassemble les termes multipliés par 8 et ceux qui le sont par &, On aura
Fk (a + Bp) Pr (a + (4 + 8g)x' x!
(p—g}p" * (p—g)g" a (p" — g") +6 (PT sh gti) (p— g}p'q" (p—g)p""q"" or, quand p et g sont imaginaires , ils peuvent être représentés par ahbV/—1 et ab 0
ce qui donne
p—q=2bV A, pg= &+ b?,
DES ÉLÉMENS D'ALGRBRE. a1$ et les quantités | pq = (a +5) — (a by)", pri quote (a HO =) = (a — 81),
deviennent alors de la forme 28 /—1 et 224/ 1 (41); substituant ces expressions dans la formule ei - dessus,
elle se changera en 85" )
aB G (a + by TZ (a+ by
résultat réel.
102. C’est en décomposant ainsi la fraction génératrice en d'autres fractions plus simples, qu’on peut arriver au terme général de la série récurrente qu'elle produit , et qui par là se trouve décomposée elle-même en suites récurrentes d’un ordre plus simple. Il faut que des fractions partielles , dont l’ensemble représente la fraction proposée, aient des numérateurs constans , et pour dénominateurs les binomes qu’on obtiendra en cherchant les facteurs simples du dénominateur de celle-ci. Ces facteurs se tirent des racines de l'équation que donne le dénominateur de la fraction proposée, égalé à zéro ; et les numérateurs peuvent s’obtenir par la méthode des coefficiens indéterminés , comme dans l'exemple du n° 98; maïs quand on rencontre des racines égales , la forme des fractions partielles éprouve des modifications analogues à celle qui à eu lieu dans le n° 99 ; et lorsqu'il y a des racines imaginaires , on met le terme général sous une Forme réelle, en le développant , de même que dans le numéro précédent. Tout cela exige des détails dans lesquels je ne saurais entrer; j'observerai seulement-que la recherche du terme général d’une suite récurrente est comprise dans celle du
terme général de la formule du n° 86, puisque la fraction |
atbx+ CHA 0. BV PO TRE a+ b'x + c'x?..... + pari gx
revient à
(a+bx....Æpañt)(a+b'x....Hpait ga"),
et que par conséquent la méthode dont on s'est servi jusqu’à présent pour trouver ce terme général est très indirecte. La résolution des équations qu'elle exige introduit, dans l'expression demandée, des quantités irra- « tionnelles qui ne doivent point y entrer : la réduction de toutes les parties de cette expression au même dénominateur, et l’emploi des formules relatives aux fonctions symétriques des racines des équations ; feraient, à la vérité, disparaître les irrationnelles ; mais il n’en résulte pas moins que la résolution des équations est une difficulté étrangère à la recherche du terme général d’une série récurrente.
La théorie des suites est une des branches les plus importantes et les plus étendues de l'Analyse; elleréunit les parties élémentaires aux parties transcendantes ; mais c’est principalement dans celles -ci qu'elle est d’une application plus fréquente, et elle leur doit aussi ses principaux accroissemens. C'est donc pécher contre l’ordre que de la morceler , ainsi qu’on le fait presque partout , et j'ayoue que je me serais abstenu d'en parler, si je n’y avais pas été forcé pour éviter le reproche de n'avoir pas rendu cet ouvrage aussi complet que ceux qui existaient auparavant. On trouvera d’ailleurs tout ce qui concerne la doctrine des séries, à la suite du Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral déjà cité. Je terminerai ce sujet en exposant succinctement la méthode que Lagrange a donnée dans les Mémoires de #
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 217 l Académie des Sciences de Paris, année 1772 , pour reconnaître si une série proposée est récurrente.
102. Soit S— 4 + Bx + Cx + Dr Letc., une suite dans laquelle les quantités 4, B, C, etc., désignent des nombres donnés; si. cette suite est récurrente, elle doit résulter du développement d’une fraction rationnelle (95). Je suppose, comme dans tout ce qui précède, que le plüs haut exposant de x, dans le nu-. mérateur de cette fraction, soit moindre d’une unité que dans le dénominateur ; si le contraire avait lieu, le procédé même nous le ferait connaître, ainsi qu’on le verra plus bas.
On cherchera d’abord si ke sous S peut être le déve-
| loppement de la fraction ———, et pour cela, on fera
a AE S = ———— RE PE pe où il résulte a+bx TT je Len T—=p+Qx;
ce qui montre que le quotient de l'unité divisée par la série S , ordonné par rapport à x, ne doit renfermer que deux termes seulement, lorsque cette formule vient en effet de la fraction supposée.
Soit, pour exemple,
S—= 24 4x + 8x° Æ 162% + etc. ; on fera la division comme il suit, en prenant 2 pôur le ne terme du diviseur, ‘1 A nt Vi + 162° + etc.
SLR de — 1 — 97 — 4x — 8x — 16xt — etc.
DO 4e DSL GE a rerc.
on aura ht ai.…à FEVER d’où l’on tirera facilement $ Etes F— 27
Si la division ne fini pas ainsi au second terme, la série proposée ne sera point le dévéloppement d'une ’
(42 : « — ; il faudra essayer alors si elle a+-bx "4 (4 a + b'x ne vient pas d’une fraction de la forme MTS TE a + bx + cx°
fraction telle que
dans cette hypothèse, on aura
LU atbz bx + cx°
ST "vert Plon
Si l’on effectue la division indiquée dans Île second
membre, et qu’on ne la pousse que jusqu’à ce qu’on ait un quotient de la forme p +-qx, ce qui arrivera après deux divisions partielles, il y aura un reste qu’on pourra représénter par a’x*; et il viendra par conséquent
ce qui prouve que Île reste de la division de 1 par S sera divisible par x°. Si l’on désigne par S;x° ce reste , qui sera une série de la forme
A,x? + B,x° + ie. etc. ,
= P+ar+
on aura d'où : suit Drur S Li, a+ ba
SU eo LE SV EST A
DES ÉLÉMENS D’ALGÉBRE. 219 | et - Mit af 0"
At IT x,
en faisant la division indiquée dans le second membre.
S Ainsi — doit donner un quotient de deux termes, comme
à u 1 ‘ } 3 on l’a obtenu plus haut pour set des deux équations
1 Sie LS SPP QE ES Re,
on tirera D en Page E TE qe réduisant cette fraction, il viendra D Pile PH gp + qe) Fa
Supposons encore que l'on n'ait pas exactement
<= = prit qu; il faudra faire alors çL ad + b'x + c'x° é a+ bx + ex? + dx?
et en opérant comme dans les cas ‘précédens , on trouvera 1 a—bx+cx+dx a"x? + b'xS
‘#4 SH Dr + cr PART Sas b'x + c'x*
La série qui reste, après qu'on a poussé la division dans 1 . , . F , #1 + g jusqu'aux deux premiers termes p + gx, étant divi-
sible par x?, pourra être représentée par S,x*, en sorte
qu'on aura À ] Dante x? + b'x8 SPORE S + PT NET CT)
ce qui donnera $, a+ b'x ? S a+b'xæ+cx?
S UT me Din Ca” ST a" + b'x , et S d'a S, Pi + quo TE be en faisant la division indiquée dans le second membre, et s’arrêtant aux deux premiers termes du quotient. Cette dernière expression montre que la division de & par $, , poussée de même jusqu à ce qu'on ait un quotient de la forme p, + g,x, laissera pour reste une série divisible par x*; et nommant S,x° cette série, on aur4
S Fo dE
S PTE S PCA MERE Eee d'a SA bu S; TT le L'EAU Ce PLATE LEE Au GR AS Das a” FT = Pa gax.
En éombinant les équations #
1 S,x $ DL
& 1 PTE SE S. Th RIM
Si [M ‘st rie
que l’on vient d'obtenir , on en déduira TT
(P1 +,91T) (Pa + g:X) + a?
Cp) pa bar) +000) le pour la fraction génératrice de la série proposée.
Il serait facile maintenant de pousser plus loin l’opé=
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 291 ration, si la division de $, par $, ne donnait pas un quotient exact; et l'on doit voir qu'elle conduira toujours, comme ci - dessus, à un nombre fini d'équations entre S, S,,S,, S3, etc., desquelles on déduira l’expression de la fraction génératrice. La règle à suivre dans tous les eas, peut s’énoncer ainsi : Divisez l'unité Par la série proposée S, jusqu’à ce qu'il y ait au quotient deux termes tels que p + qx, et désisnant le reste par Six”, divisez S par S,, jusqu'à ce qu'il y ait au quotient deux termes comme p1 + qix; désignant encore le reste par S,x°, divisez S, par S,, Jusqu'à ce que vous trouviez un quotient de la forme p; +4 qx, et ainsi de suite : si la série proposée est récurrente, vous arriverez enfin à un, quotient exact, qui pourra étre représenté Ka P'=+ qux. Il vient alors cette suite d'équations :
S,x°? Ve 1 S=P ar +, du | LS $ p +9x + —— $ E D 1 En QU L'AUTRE CEE A d'où Par DE mir eme La Sax? l'on SEE 1 SG, Pat at ETS tire | see Si . Pa F a S ARRET UP DRE tr ne sonne eee bn On 2, tre SA LL 1:
Fe PR DES A ARTE re pà
103. Pour appliquer la règle DRÉCNENLE à æ la série des nombres a G307;:18 147,195, 5922, 845) 2207, 5778 , etc., En exemple, on lui donnefa la forme = 1 + x + 82 + 7x + 1821 7x + 193% 0 + 32227 + 8432 H etc. ;
on aura p+gr=1i-x, Si —92— 4x — 112 — 292% — 76201 mm 199 2Ÿ “ 6 6 + 921%" —{@ic, PA IS tn = —i— 0x2 02 2558 2 5 etc, pa + qu = 4 — 82, Ss—= —5 — 15x — 40%? — 105x% — etc.,
et enfin ps+qgsx—=-2+ x, sans reste. Formant alors les équations S3 I "CHERE; * | 1 S
Sa +5 + x? EE
Si 1 ra RETURN, TT IT ah LME —itir +de LT |
on trouvera k S cape
1 — 3x + x° Le numérateur étant d'un degré plus élevé que le dé nominateur, on peut ôter un entier de la fraction, et il
viendra 5 — 7x
d’où l’on voit que la série proposée est la suite récurrente produite par la fraction proprement dite... ..
1 — 8x +2 — zx; aussi, dans la première, la loi de récurrence ne se manifeste qu'au cinquième terme, au lieu qu'elle se montrera dès le troisième, si l’on en retranche.— 2 .et — x, car il viendra
S=—xz—9+
, à laquelle on a ajouté les termes — et
et déjà OL NEO Pr" LL ox XX 3x, 7H = 2x + x + 5x K 6x , etc.
Développement en séries, des exponentielles et des logarithmes.
