La question proposée est résolue, puisque voilà
y exprimé en x, c'est-à-dire qu'étant donnés le logarithme x et celui du nombre e, relativement à la base à on aura le nombre y; mais l'expression de ken a FE conduit aussi à la solution de la seconde question: étant donné un nombre, trouver son logarithme.
En effet, si l’on suppose que a soit une quantité quelconque , et que l’on mette pour k, dans l’équation kle—la , la série qu'il représente, on obtiendra
A—1) (a—1} (a—1) (a—r}t la = le [D À : 2 + 3 4 etc. .
Voilà donc le logarithme d'un nombre quelconque a exprimé au moyen de ce nombre et du seul logarithme d’un nombre déterminé e.
Cette série n’est convergente qu’autant que le nombre
CU . CRE . 7" 1 a est très voisin de l’unité; mais comme IV a—=—la
(Elém., 241), si l’on change, dans le second membre,
mt a en Va, il viendra
me mn ni ((V'a—i a—1) a—1}) | LD AUCSAUCO RS or; en prenant pour m un très grand nombre, on pourra
toujours faire en sorte que la quantité V/a diffère aussi peu qu'on voudra de l'unité.
On a ainsi un moyen très simple de calculer le logarithme de a; car en prenant m égale à quelqu'un des nombres compris dans la série 2, 4, 8, 16, etc. , on n'aura qu’à effectuer des extractions successives de racines quarrées (Elém., 153). Cependant ce procédé deviendrait pénible pour les nombres un peu considéra-
bles, c’est pourquoi les analystes ont cherché de nouvelles séries qui pussent s'appliquer à ces nombres , séries qui ne sont que des transformations de la première expression de la. |
108. Le nombre a étant supposé, dans les séries précédentes , indépendant de la base des logarithmes, il est évident qu’on pourra appliquer ces séries à un nombre. quelconque y, et qu'on aura en général
{u— 1) = OO ete.)
pes le
En substituant dans cette expression 1-4 au lieu de y, elle deviendra |
Lt: MN AER (Gi +u =lefr et Æ — + ete. À:
changeant ensuite u en —u, on aura
17) uf Ii—u=le{— a 8000 — ete. };
retranchant le second résultat du premier , on trouvera
Lie TL
30175 21e ++ + etc.},
1(1 Hu) IG 0) = (SN =
série dont la marche est plus rapide que se des pré- -cédentes,
On en trouve une beaucoup plus CONVELGERES , en faisant dans celle-ci
DES ÉLÉMENS D'ALGÉBRE. 299
ce qui donne Uwz
she
et par conséquent,
sn
left +3 ue +5) # ete. }
d’où l’on tire
ur NY AUDE —
l(n+z)=ln + 3 5 alef+s (in) +5) + ao.
Cette dernière série fera connaître le logarithme du nombre 7 +2, par le moyen de celui de n , et sera d’autant plus conyergente, que n sera plus considérable.
Si l’on fait z —1, on aura le logarithme de n +1, exprimé par la série très simple
l(n+i)=lr NS un cu heu n 2 Évaras 5 (on+1) ‘ 5 (an +1} 4 et convergente lors même que n —1.
Dans ce cas, elle donne
salt rnten top tete),
série dont le huitième terme ne va pas à ss : en réduisant en décimales tous ceux qui le précèdent, on obtiendra
12 — 0,6931472.le.
109. On ne peut avoir la valeur absolue de 12 sans fixer celle de le —1(2,7182818), qui dépend du système de logarithmes que l’on adopte. L'hypothèse la plus simple consiste à supposer le= 1, et on a alors
la — 0,6931472 ;
dans ce système particulier, qui répond à l'équation y —e* (100), la base est e. Je le désignerai sous le nom de système nepérien, pour rappeler le nom de l’écossais Neper (ou Napier), auquel on doit l’importante découverte des logarithmes ; et j'accentuerai la lettre 1 toutes les fois qu'il s'agira des logarithmes de ce système : ainsi j écrirai l'e— 1, l’2—0,6931472 (*). F
Pour passer du système nepérien à celui dont la base serait une quantité quelconque @ , il faut se servir de
l'équation Ly =} (Elém., 250) , qui devient dans le
Z LE] ÿ .
cas actuel, 12=; ; et si l’on fait z — e, onaura
puisque l’e= 1 : il ne restera donc plus qu’à calculer l'a par la dernière série donnée ci-dessus, en y supposant le= 1.
Pour les logarithmes ordinaires, dans lesquels a—10, on observera que 10—5.2; et l’on verra qu'il suffit d’avoir l'5 , parce que l'i10—1°5 + l'2 jet que l'2 est déjà connu.
Pour parvenir au logarithme de 5, on supposera , dans la dernière série du numéro précédent, n—4 etz=1; et comme l’4—2l'o, il viendra, en prenant l'e= 1,
VB—ol'o + à +0 +0 Fr ete. }.
(*) Les logarithmes nepériens sont appelés ordinairement logarithmes hyperboliques ; maïs cette dénomination, est vicicuse , car il n’y a pas de système de logarithmes qui ne réponde à quelqu’une des courbes que les géomètres ont nommées hyperboles.
DES ÉLÉMENS D ALGÈBRE. 251 Les trois premiers termes de cette série suflisent pour obtenir un résultat exact jusqu’à la septième décimale, et elle donñe
en ajoutant à ce logarithme celui de 2 trouvé plus haut, on a aa l'io — 2,3025851,
et par conséquent,
| 1 ] eut om es CN 0 $ TAST m 44294 En multipliant par ce nombre les logarithmes nepériens de 2 et de 5, obtenus dans le n° 108 et dans celui-ci, on
trouvera 12 —0,3010300 et 15 —0,6989700,
tels qu’ils sont dans les tables de logarithmes ordinaires.
110. La quantité le est nommée en général module, on voit que celui des logarithmes nepériens est 1, et que celui des logarithmes ordinaires est o,4342945.On convertit les logarithmes nepériens en logarithmes quelconques, en multipliant les premiers par le module des seconds, et on repasse de ceux-ci aux autres , en les divisant par leur module, ou, ce qui revient au même, en les multipliant par Lorsque la base est 10, on a
le
— 9,80258bB:1 ;
c’est par ce nombre qu’il faut multiplier les logarithmes ordinaires, pour les convertir en logarithmes nepériens, ce qui est souvent nécessaire.
111, Borda et. Haros. ont donné des formules qui
29 2 COMPLEMENT | expriment, au moyen de séries très convergentes, Îles relations entre plusieurs logarithmes de nombres corsécutifs , et qui conduisent très promptement à Ces logarithmes.
Pour parvenir à ces Sp $ je ARE l'équation
= te { + Je E + cte.} (108),
Je
en y faisant
1+u 1 mn =" d'où EE 1—u ÿ M +n et Ne , m M 1 1 /m—n Fh 21e {TT ete}.
no mn TRE A m + n NE
Cela posé, voici comment on obtient la formule que donne Borda dans la Préface de ses Tables trisonométriques décimales , revues, augmentées et pRpués par Délambre.
Si l’on forme les produits
P—1)P+DUP+2)=pr- #2, (p.+ 1) Gp +1) GE — 2) =p = p=2, et qu'on fasse. |
m = p° — 8p + 2, n = p — äÿp — 2, il viendra RUN, 4 ct ENS + 0, M RATE 2 (pp) TIRE Gp puis a EE Co pur pu | 18 +ete.},
d’où l’on conclura
1(p+ 2) + 21(p—1) —1(p—2)—921(p#+1) —o2le lets 5) he etc. }.
3124-91 5—9lo—0217
DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 233 Si l’on prend successivement
p=5, p=6, p—7, p—8, on aura les quatre équations
154419 13—213—212 2le{ss + etc.}, 2le{ 7 + etc.}, 213-+013+9l9— 15—619 ole{-+ etc.},
154 1abol7— 13— 12—413 — olef y ete}:
