FE HA
Ces quatre équations ne renferment que les logarithmes des nombres 2, 3,5 et 7, logarithmes que l’on peut alors déterminer par une simple élimination ; on obtient de cette manière
(4) + etc.
| Wie +3 GY + IL HI GS) + etc.
il —— a 3 99 Lee di RTE vo) — 22 + 3 (Gi) + etc. }
et ainsi des autres.
Si l’on prend encore p—=195, il viendra
hi 0l7— 13 — 612 — ole{— HE rrce) + etcr}.
Enfin on aura aussi, en faisant p — 1007, 11009 +2 1 1006 — 1 1005 — 2 1 1008 ge sen +3 Grsma) etc. }.
Ces seal suffisent pour montrer le parti qu’on peut tirer de la formule de Borda.
112. Pour obtenir celle de Haros, il faut, .supposer m==2—05 21 (x+-5)(x—5) ru don ns | EL LQUE Go):
394 COMPLÉMENT et l’on aura |
REED mA PC Te Vi
mr rt (ane — ee + —) +etc.}
d'où l’on tirera la valeur de 1 (x +5) au moyen k celle de |
La série est très convergente dès que le nombre x de-
vient un peu grand; son second terme, lorsque x=—=1000, est seulement 0,00000 00000 00000 00000 00000 00000 12 (*). 113. Le procédé employé pour résoudre la première des questions posées dans le n° 104, peut servir aussi à déduire immédiatement de l'équation y =", le déve-
loppement de x en y. On peut donner à ce développement la forme
x= A(y—1)+B(y—1} + C(y— 1) + etc., puisque x doit s’évanouir lorsque y—=1 ; et faisant ÿ—1—u, on aura
x = Au+ Bu? + Cu + etc.
Désignant aussi par w la valeur de y— 1 où deu , correspondante à une valeur de x représentée par z, an aura également
3 — Ayw + Bw° + Cwÿ + etc.,
(*) On trouvera quelques formules de plus sur ce sujet, dans l’Introduction de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral,
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 235 et par conséquent T—
acer — A+ B(u+w) + Cu? + uw + w?) + etc.
L'équation y— a* donne
Y—1 ou u— a —1,
d'où il suit
W=—1, u—w—=a — —a(att—)1)
| L—2 puis si l'on fait a — 1+ b, comme dans'le n° 104, on obtiendra QTTE nu ] —= | ED 54. (x — 2) Simele BH
mettant cette valeur dans l'équation (477), supprimant le facteur x — z commun aux deux termes du premier membre, et supposant ensuite z= x, d'où il résultew—=u, on aura
etc. ;
À + 2Bu + 3Cu° + 4Duÿ + etc.
3 { En écrivant k au lieu de b—E+E Tr + etc., et
1 Æ u au lieu de «7, il viendra —— = À + 2Bu +3Cu 3 :
AÉET + té 3Cu° + 4Du$ + etc. ; et, en faisant disparaître le dénominateur , passant tout dans un seul membre,
Ak + 2Bku + 3Cku° + 4Dkuÿ + etc. | —1—+ Æku+ 2Bku° + 3Ckuÿ + etc. |
équation de laquelle on tire
et par conséquent,
Li f(y = Ds CYR 27 {2 < À 3 ete. ».
Si a est la base du système des logarithmes , on aura donc, comme ci-dessus (108),
AL LOU non) Me Lama) a LE à yet Te
Du retour des suites.
114. Le fréquent usage que j'ai fait, dans ce qui précède , de la méthode des cotfficiens indéterminés, me permettra d'exposer en peu de mots celle du retour des suites, qui sert à trouver l'expression d'une quantité engagée dans une série dont la valeur est donnée.
Soit y —« + ax + bx° + cx° + dxt+ etc. ; pour obtenir x en y, on passera le terme « dans le premier membre, et faisant, pour abréger, y—«=—2, il viendra
Z2= ax + bx° + cx$ + dxtbetc.... (1).
La supposition de x —0o donnant z = 0, il est facile d'en conclure que l’on peut faire
x = Az+ Br + Cÿ + Dzi + etc:..: (2);
les coefliciens 4, B, C, D, etc., indépendans de z ,5e détermineront au moyen de équations qu’on obtiendra après avoir substitué au lieu des puissances de x ; dans
h; équation (1), celles de la série (2) (*), passé tous les
termes dans un seul membre , et égalé séparément à zéro les quantités qui tilient chaque puissance
de z. Voici le résultat de la substitution ver Di ao ol + aCÿ+ aDzietc, PL =... HE 2Lob4Bz49obACzi+etc.
+ bB?z4
ex —=..........+#+ cAz4+5cA4"Bzi+etc
RL. die, du eh d'Afzt bete,
ee USD OR TURN SU) 6 916 © € vs 6,0 he € » vds e
En égalant à zéro les coefhiciens de z, de 2°, de z°, etc.,
on trouve
aA—1=0, aB+bA4=0o, aC+ 2bAB + cA—0, aD + ob AC+4+bB?+3cA°B + dAf=0o, etc. :
| ces équations donnent
A4=?, peer c—#—2, pete et on a par conséquent La RER 2 Die + wa, res
Il est à propos de remarquer qu’on pourrait appliquer
à la résolution des équations algébriques, dans quelques
as, la série précédente , z désignant alors le dernier
(*) Ces puissances peuvent se trouver par des multiplications
successives , où par les formules du n° 87.
238 COMPLÉMENT | terme de l'équation, passé dans le second’ membre, Mais on n'aurait, de cette manière, que la plus petite des racines de l’équation proposée, puisque l’expression de x en z décroît continuellement avec z, et s’évanouit en même temps que cette quantité , ce Fos réduit l'équation (1) à la forme
o= ax + bx? + cx$ + etc., sous laquelle elle admet la racine x—=0o. =
V15: Proposons-nous, pour exemple, de tirer la valeur de x de la série
WLM Shr + + + ce,
dans laquelle y — e (106); on aura
et R | * , à \ # < Ÿ 358
à == 1 b=—, Fr À = des etc ; 1. 2 ? 1.2.3 1.0,0.7* ,
d’où l’on déduira A1, B=—;, C=Y, D=—;, etc., et
(Ye DEN Cy — 1) Lien) 1 ra 2 0 3 ce qui s'accorde avec l'expression du n° 108, en y fai-
sant le — 1.
On tirerait de même la valeur de y en x de la série
— Gr). Ori pes etc. , 1 1 1 |
en supposant y—1=2 et z= 4x + Bx°+ Cx° + etc.
Je laisse au lecteur à s'exercer sur ce calcul ; les
, coefficiens 4, B, €, etc., étant déterminés, on re
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 289 mettra y 1 pour 3, et il viendra . y=i1+ 4x + Bx° + Cri + etc.
