Ÿ LA L

T° donc cette fraction terminera aussi nécessairement une des deux séries ci-dessus , mais l’autre série pourra toujours aller à l'infini.

» En effet, suppôsons que d soit le dernier dénomi-

D ET nateur de la fraction continue ; alors D’ sera la dernière des fractions principales; la série des fractions plus grandes que a sera terminée par cette même frac-

D pe . .

tion D °t la série des fractions plus petites que a

[4 \ . C se trouvera naturellement arrêtée à la fraction T°

» qui précède mais pour continuer » cette dernière

D D; série, il suffit de remarquer que la fraction qui sui-

yrait —,, Savoir,

, Là A D . ° « se réduit à D' quand « = ©, ce qui arrive lorsque

» à est le dernier dénominateur (120). Or, par la » loi des fractions intermédiaires, il est clair qu’à » cause de :— ©, on pourra insérer entre les frac-

. E Q CAT. . ° 4 » tions æ; et F7 une infinité de fractions intermé-

» diaires, qui seront

DÉCCHED EC SDEC" LL x A » Ainsi, dans ce cas, on pourra, après la fraction C » dans la première suite de fractions, placer encore » les fractions intermédiaires ‘dont nous parlons, et les » continuer à l'infini.

135. » Une fraction exprimée par de grands nombres » étant donnée, trouver toutes les fractions en moin- » dres termes, qui approchent si près de la vérité, qu'il » soit impossible d'en approcher davantage par des » fractions plus simples.

» Ge problème se résoudra facilement par la théorie » que nous venons d'expliquer.

» On commencera par réduire la fraction proposée » en fraction continue, par la méthode du n° 121, en » ayant soin de prendre toutes les valeurs approchées » plus petites que les véritables, pour que les nombres

a, B,7y,etc., soient tous positifs ; ensuite, à l'aide des nombres trouvés «, 8, y, etc., on formera , d'après ie DETTE dont la dernière sera nécessairement la même que la fraction proposée, parce que, dans ce cas, la fraction continue est terminée. Ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la fraction donnée , et seront successivement conçues en termes plus grands; et de plus, elles seronttelles, que chacune de ces fractions approchera plus de la fraction donhée, que ñe pourrait faire toute autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples. Ainsi on aura par ce moyen tontés les fractions conçues en moindres termes que la proposée, qui pourront satisfaire au problème.

» Que si l’on veut considérer en particulier les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la proposée, on insérera entre les fractions précédentes autant de fractions intermédiaires que l’on pourra, et l’on en formera deux suites de fractions éonvérgentes, les unes toutes plus petites et les autrés toutes plus grandes que la fraction donnée ( 132; 138 et 134); chacune de ces suites aura en particulier les mêmes propriétés que la suite des fractions princi-

SH 1 LE à à # pales 5 °C etc. ; car les fractions, dans cha-

la règle du n° 126, les fractions etc. ,

que suite , Seront successivement conçues en plus grands termes , et chacune d’elle approchera plus de la fraction proposée , que ne pourrait faire ancune autre fraction qui serait pareillement plus petite ou plus grande que la proposée, mais qui serait conçue en termes plus simples.

» Au reste, il peut arriver qu’une des fractions intermédiaires d’uhe série n’approche pas si près de la

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 271 ». fraction donnée, qu'une des fractions de l’autre séz » rie, quoique conçue en termes moins simples que » celle-ei; c'est pourquoi il ne convient d'employer les » fractions intermédiaires , que lorsqu'on veut que les » fractions cherchées soient toutes plus petites outoutes » plus grandes que la fraction donnée.

136. » Suivant La Caille , l’année solaire est de 365/5t » 48’ 49”, et par conséquent plus longue de 548'-40" » que l’année commune, qui est de 365/; si cette dif- » férence était exactement de six heures, elle donne- » rait un jour au bout de quatre années communes ; » mais si l’on yeut savoir au juste au bout de combien » d'années communes cette différence peut produire un. » certain nombre de jours , il faut chercher le rapport » qu'il y a entre 24" et Bt 48° 49"; on trouve ce rapport —4#54%%; de sorte qu'on peut dire qu'au bout de » 86400 .ännées communes , il faudrait intercaler » 20929 jours pour les réduire à des années tropi- » ques (*):.

» Comrie le rapport de 86400 à 20929 est exprimé en » termes fort grands, on propose de trouver en des » termes plus petits des rapports aussi rapprochés: de » celui-ci qu'il.est possible.

» On réduira donc la fraction $$#2 en fraction con-

(*) On appelle annéesolaire ou année. Srapique l'espace detemps qu’il faut pour ramener la terre dans la même position à l’égard du soleil. Les astronomes ont conclu des observations , que cet espace est de 365 jours 5 heures 45 minutes 49 dés) et il suit de Jà qu’au bont de 365. jours, ou d’une année civile, il s’en faut de 5 heures 48 minutes 49 secondes que la terre n’ait achevé sa révolution autour du soleil. Ce complément se trouve compris dans Pannée suivante. S’il était précisément de 6 heures, 4 révolutions rempliraient 4 ans et un. jour. .

Les jours qu’on ajoute pour ce les révolutions de la terre avec les années civiles, s ‘appellent jours intercalaïres, ou intercalations.

272 COMPLÉMENT | » tinue par la règle donnée dans le n° 121, » En disposant l'opération comme ci-dessus, les dividendes seront placés à la gauche des diviseurs, « et l’on aura 20920|8640014 = « 183716 2684|20929|7—=8 888) 2141 2684 L—=7y 12141 D43l2141 3—S l1629 bi ee ee

5x 51216 — Û 7 16/31|1 = y 25l16l1—=84 pt 15 —

» Connaissant ainsi les quotiens &, 2, y, etc. , » la règle énoncée à la fin du n° 196, fera trouver aisément

+ la série des fractions principales, D? D etc. ; et en les

plaçant sous les quotiens qui leur otre x viendra

« où l’on voit que la dernière fraction est la même que » la proposée. » Si, dans cette opération, l'onrencontre quelque difficulté , elle sera levée par les détails'stivans. « On écrira d'abord la suite des quotiens 4, 7, etc., » et on placera au-dessous les fractions qui en résultent.

» La première fraction aura toujours pour numéra-

teur le nombre qui est au-dessus, et pour. dénomina: LA

teur l'unité. :,. > pe sa » La deconfe aura pour numérateur le produit du

nombre qui y est au-dessus par le numérateur de; la

‘première, plus l'unité et pour dénpriatenr le

nombre même qui est au-dessus. se ist » La troisième aura pour numérateur le droit du

nombre qui y est au-dessus par le numérateur, de la séconde , plus celui de la première , et de même pour

-dénominateur le produit du nombre qui.est au-des-

sus parle dénominateur dela seconde; plus,celui. de

vla première.

» Et en général ( d’après la‘règle du ñ0 196) ) bhdque fraction aura pour numérateur'le produit du nombre quiy est au-dessus par. le numérateur de la fraction précédente , plus celui de lavant-précédente , et pour dénominateur le produit du même nombre par le dénominateur de la fraction précédente, plus caus de

l avant-précédente.

» Ainsi, 29 —7. 4—+1, 77, 35 — 1.29 +4, EE 71 à RAR EEE dde 31 —3.8#7, ét

ainsi de suite.

& 2° 21 que l'intercalation la plus simple est mA d’un jour

dans quatre. années communes, , ce qui. est Je. fondement du calendrier Julien, mais qu'on approcherait plus.de l'exactitude en,n’intercalant que sept jours. dans l’espace de vingt-neuf années communes, ou-huit dans l’espace de trénte-trois ans , et ainsi

” Maintenant on voit par pe ne : 2,35, etc.,

de.suite,

“Onwoit, de plus, que comme les fractions 4, , sont alternativement plus petites et plus grandes que la

Comp. des Elém. d’Alg. 13

ee Le 4

ss L 2

À Lea

60 LME 1 ,° . » | ” fraction 884 ss OU 57 PT J'intercalation d'un jour

sur quatre ans sera trop Le , celle de‘sept'jours sur wingt-neuf ans trop faible, celle de ‘huit jours sur trente-trois ans trop forte ,-et ainsi de suite; mais cha cune de ces intercalations.sera toujours la plus:exacte qu'il est possible dans le:même :espace de temps.

» Or, sil’ontrange dans deux'séries particulières les fractions plus petites et iles fractions plus grandesque la fraction donnée, on y pourra encore insérer différentes fractions intermédiaires pour compléter.les séries ;et pourcela-on suivrale même procédé que.cidessus, mais en prenant successivement à larplacesde chaque nombre de la série supérieure tous les nombres entiers. moindres que.ce nombre (lorsqu'il y.en.a).

» Ainsi, considérant d'abord les fractions eroissantes

4 4; 4 2? l, 195 tNaaps

A +83 AMG 2865 86400

ur g > 58 > "694 20929) on voit qu'à cause que l’unité est au-dessus de la seconde., -de la troisième .et de'la quatrième, on ne

pourra placer aucune fraction intermédiaire, ni entre la première et la seconde, ni entre la seconde et la

troisième , ni entre la troisième et la quatrième; mais

comme 4h dernière‘fraction‘a au-dessus d'elle le nombre15, on pourra, entre cettefractionetla précédente,

‘placer quatorze fractions intermédiaires, dont les nu-

mérateurs formeront ‘la progression par ‘différence , 28655569 , 2865-+2.5569, 386543:5569 etc. , et dont les dénominateurs formeront aussi laprogression 6941549, 694 + 2.1349, 6944315849; etc.

» Par ce moyen, la suite complète” des fractions croissantes sera

12835 141849 1 5339 169894? 1 go8 31 86400 , 3 ' 688 18251 1958909 20929 »

» et comme la dernière fraction est la même que la » “frättion donnée , il est clair que cette série ne peut pas-être poussée plus loïn.

» De là on yoit.que si l’on ne veut admettre que des »intercalations qui pèchent par excès , les plus.simples » tet Jlesplus exactes seront celles d’un jour sur quatre » sännées, jou de huit -jours sur trénte-trois äns, ou de » :trente-neufsur cent soixante-un:ans , et ainsi de suite. » Considérons maintenant des fractions décroissantes

ARR 16, à:

29 128 2704 5569. é jé ARE à SN%2 655 271849 ?

» et. d'abord, à cause du nombre 7 qui est au- {70 » de Ja première fraction, on pourra en placer six autres » ayant celle-ci, dont les numérateurs formeront la; pro- » gression par différence 4+1, 2.441, 3.41, etc., » et dont les dénominateurs formeront la progression 1, y” 2,3, etc. ; de même, à cause du nombre 3, on pourra ” placer entre la premièreet:la seconde fravfiôns , deux »' fractions intermédiaires; et entre la seconde et la troi- »$ièmé ,:on'en pourra placer 15, à: cause du nombre 16 »' qui est au-dessus dela tr éhièiie: ‘mais.entre celle-ci » et la-dernière on n’en pourrait ‘insérer ‘aucune , à » ‘cause que le nombre quiest au-dessus est Praités

» De plus, il faut remarquer: que comme la série » précédente n’est pas terminée par la fraction donnée, » on peut encore la continuer aussi loin que l’on veut, » comme nous l'avons fait voir dans le n° 134. Ainsi » l'on aura cette série de fractions décroissantes,

59, 28,407. ar 25 29 .,62,95 248, 2894504 Li1772 1929 3974) 59 6979109 28) 31 ? 70 10091487 1877 , 933 1094 ,1255 A16 1577 ,2738 1899 2060, 2291 2269 26b 2304 9 348 9: 38249 421 2 460 J :499 2, 653807 2382 92543 92704 5569 91969 278369 264769 351169 17 1 616 > 655 ? 13499 222789 43207 9 64136 2 85065 ?