On a vu dans le n° 121 que la Factid continue
À équivalente au nombre fractionnaire > ‘obtenait de la
mênre manière qu'on procède à. la. recherche du‘plus grand. commun. diviseur , c’est. - à - dire en. divisant: 4 par 8, puis. B'par le reste C,, puisice premier reste C par le second. Det ainsi de, suite. On.peut an lien-de prendre à chaque opération partielle un nouveau-dividende et'un nouyeau.diviseur, diviser. le premier nombre 4 par B » puis par le reste C de cette première division, puis par le reste C’ de la séconde, et ainsi de, suite: Où obtiendra. d’après ce procédé ; ; une espèce de fractions convergentes, remarquées d’abord par Lambert, et traitées depuis par Labrange , dans le volume des Débats de l'École normale ,\etdans le 5° cahier du Journal de l'École Polytechnique. | Si l'on fait successivement
és riselh Ai FETE
A=nC + CC, A = nC'Æ C".
A — n'C'S él eic. , on ext dédüird.
junte
DES ÉLÉMENS D’'ALGÉBRE. 283
etc.;
d’où l'on conelura ces diverses! valeuts,
PSE ét PS Éire-pe etc. 8
- " Le : A e fe! * «5 4 fie La. fraction: 3 est ainsi transformée daris uné’ suite
convergente; car il est visible que les, quotiens »,, 7’, n”, etc. , vont en croissant, tandis que les restes C, C’, C", etc. diminuent sans cesse : on voit, de-plus ; que cette série doit s'arrêter toutes les fois que le nom-
bre é est Latine Én cher: a suite des divisions
prescrites par le procédé ci-dessus conduit nécessairement à un quotient exact, lorsque A et B sont des nombres entiers, puisque ke réstes diminuant succéssivement, on doit. finir par en trouver un égal à l'unité quand les nombres Æ et B sont premiers entre eux.
‘14e Si Pon prend , au lieu du AR Et
maire la fraction proprement dite —, dans laquelle
pe
C<B, on aura | C 1 C’ D'Ææ Û — = = we Fe Tite B ) Bn?
| ‘IC 1 Ce LATE u ue EM ET. A.
Be nc C, ou {Z n' Bn'?
été 1 C” ACT L/4 NFAR ee à pet L B = n"C".+:€C, B n° Bn'?
etc. etc. ; d’où l'on tirera successivement C 1 C’ Pet à B IL Bn° C 1 c” B IL nn ke Bnn'?
C4 I se 1 c?
Ho R nr nnn' Bnnn'? etc.
Toutes les fractions partielles de ces résultats, excepté la dernière , ont pour numérateur l'unité. Cette dernière donne hotte l'erreur qui résulte de l’ensemble des autres. Il est facile de conclure de là (que les valeurs
sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction Z? en supposant toujours les quotiens n,n,
n”, etc., pris comme en Arithmétique. Il serait facile de trouver les modifications qu'apporteraient dans cette conclusion et dans les signes des fractions païtielles, des quotiens pris tantôt en excès et tantôt en défaut ; les con sidérations analogues développées dans le n° 124 me
___ DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 285 dispensent d’entrér ici dans aucun détail à cet égard ; je me bornerai à faire remarquer que l’on aura une ap-
.proximation plus rapide, en-prenant toujours le quotient au plus près. soit en-dessus ; soit en-dessous. Je ferai encore remarquer que l’on peut obtenir,
pour le nombre frâctionnaire + des expressions sem-
B ) blables aux précédentes, en substituant celles-ci à la C A C lace de — dans l’équation = — m + —.
place 2 ans fou 1 5 un 2 Si l’on applique ce qui vient d’être dit à la fraction 87, on trouvera
