RE EME TR
» Ces fractions seront donc alternativement plus pe- » tites et plus grandes que le vrai rapport de la circon - » férence au diamètre, c’est-à-dire que la première 3 » sera plus petite, la séconde : * plus grande, et ainsi » de suite, et chacune d’elles approchéra nee de la » vérité que ne pourrait faire toute autre fraction qui » serait exprimée en termes plus simples, ou en géné- » ral, qui aurait un dénominateur moindre que le dé- » nominateur de la fraction suivante ; de sorte que l’on » peut assurer que la fraction ? approche plus de la » vérité que ne peut faire aucune auire fraction: dont .» le dénominateur serait, moindre. que 7, de même la » fraction 2 approchera plus de la vérité que toute » autre Dion: dont le dénomuriateur serait môindre » que 106,'et ainsi des autres.
» Quant à l’erreur de chaque fraction, elle sera tou- » jours moindre qué l'unité divisée par le produit du » dénominateur de cette fraction par celui dé la frac- » tion suivantes Ainsi, l'erreur de la fraétion 3 sera » range que: > 5 celle de la fraction 2 sera moindre » que +, et ainsi de suite. Mais tas même temps » l'erreur de chaque fraction sera plus grande.que l’u- »n nité divisée par lé produit du dénominateur de cette » fraction par la sommie de ce dénominateur et du dé- » nominateur de la fraction suivante ; de sorteque l’er- » reur de la fraction 3 sera plus grande que +; celle de » la fraction = 2 plus grande que +5, et ia de » suite (191). +
» Si l’on voulait maïntenant séparer les: fractions plus » petites que le rapport de la circonférence au dia- » mètre, d'avec les plus grandes , on pourrait, en in- » sérant les fractions intermédiaires convenables , for- » mer deux suites dé fractions , les unes croissantes » et les autres décroissantes vers le vrai rapport dont
» il s’agit; on aurait de cette manière
circonf.
Fractions plus petites que. ==.
BASE q dianièt,
25 A7: 169 Qu 418 185; 157.) 179: 2oû') da3 2452 267
nd lots HE ET JL
» Chaque fraction de la première série approche plus » de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 279 5 exprimée en termes plus shuples , et qui pécherait »' aussi par défant ; et chaque fraction de la seconde ».$éries approche aussi plus! de la vérité que ne peut » faire aucune autre fraction exprimée en termes plus » simples et péchant par excès.
» Au reste, ces séries deviendraient fort prolixes, si » l’on voulait les pousser aussi loin que nous avons » fait à l'égard des fractions principales données ci-des- » sus, »
138. Après les exemples: précédens ;. Aer Lots trouveront sans peine les diverses valeurs approchées
de V2,
JL
) » Gr “Tai, 290 Do r1e0r CIC.
aû moyen de la fraction continue
ni El TE a a 2+etc, (125).
Une semblable fraction , dans laquelle fes dénominateurs sont toujours les mêmes, ou reviennent dans un certain ordre , se nomme fraction continue périodique,
et peut toujours être regardée comme la racine d’une équation du second FANS
Soit la fraction a re Fe nn 1 pour b +- etc. ;
en la faisant égale à x, on aura
Len IT
PE Na Eu etc,
Le nombre des fractions intégrantes étant illimité ;ilest évident qu'on peut substituer encore z — a à l'énsenible des fractions qui suivent éé HORS en sorte qu on
aura 71
Fee
PRE Le
d où: il suit
'æ LA) EEE ab — 10, ji équation de laquelle dépend A x, qui repré.
sente la fraction proposée. L
Si l’on fait b — 04, ‘T'équation ci - dessus devient x — d—1-=0;et te fraction ù
+ 00 rt 4) + sa + 2 hr, RC a donne la valeur de Wa +1. |
Quand a—1, il vient a=f/ 2, ce qui justifie l’expression indéfinié rapportée plus haut (*).
. Soit encore la fraction continue
ff at 1 Ï : COL À a+ 1:
: ; ! . +3 —- m1 LE f CH 1 c +. etc., dont la période embrasse deux fractions intégrantes 1 on aura, dans ce cas, = “ al lioë ch | L —G—=- ,1 b+— 1 ".
C En 5 L £ AS c + eic., 9 Le - y, , we: "2
(*) Elle s’obtient aussi par des considérations géométriques. (Voy: mes Ælémens de! Géométrie.)
et on substituera x —« au lieu de toutes les fractions qui suivent la seconde; il viendra
Le dal "mie : KT HETE die
rer dont on tirera bx *— (2ab — bc)x + &b—abe—c—0o.
I est facile d’ eue ce procédé à à telle RE ps périodique que ce soit.’ |
159 Réciproquement : une équation du second degré étant donnée, on en tirera une fraction continue périodique , en ni appliquant la méthode donnée (Elém., 221) pour résoudre les équations par approximation.
Es “ei est bien simple par rapport à l'équation
‘x c — (aa — b}x Ha —ab—1—=0o du numéro précédent. En faisant a+, , il vient, après les réductions, FAN pra ou (y—b)y—1=0, LA
équation d’après laquelle on reconnaît sans peine que y doit être compris’entre b et b 43 1; et posant en
conséquence y — b Fa: ra on toire encore
Les transformées étant donc toutes semblables , b sera la valeur approchée de chacune des inconnues ÿ, y’, y", etc., et l’on aura par conséquent pour x la première des fractions coñtinués littérales posées dans le numéro précédent.
Pour la démonstration du cas. général. de: la déoibsis tion ci-dessus , je renvertai aux Ædditions ‘à l'Algèbre d'Euler, p. 476, et au Traité de la Résolution des
quations numériques, par Lagrange; 2° édit. , p. 59.
De quelques autres FACE des fractions.
