FE

LOT DE TPE?

il en résulte , pour a, cette suîte de valeurs, de plus en plus approchées , + PEL.

Pau 1

tes ce qui offré encore une transformation de l'expression de a en série convergente, finie si a est rationnel , et infinie dans le cas contraire.

Cetté dernière transformation est d'autant plus remarquable , qu'Euler en a tiré un moyen de convertir en fraction continue touteisérie dont les termes sont al-

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 987 ternativement positifs et négatifs. (’oy. le chap. XVIII de J'Introductio in Analysin infi inttorum.) I] y est revenu dépuis, ‘dans le 2° volume de ses Opuscula anal lica (pag. 138); ; mais Ces recherches sont trop col yat pour tronver place ïci.

der On peut’ généraliser la réduction des fisltion ordinaires en fractions décimales , en, se proposant de convertir;une fraction quelconque en une autre d’un dé-

o 1 LE 4 C » ° nominateur donné. 7 étant ‘la première, et:b:le déno-

minateur donné, la seconde aura évidemment pour nur» LA bC Lé LA s e mérateur-le quotient évalué en nombres-entiers. Si

l’onreprésente:ce quotient par met le reste par C’,-on a exactement F ER 4 C Pants où ÿ= = 5 + et poursuivant ces divisions , on arrive à Do 6 0 PAL DR HA 5. 0 Yo) = eur. C Ho SU DUR bp THB?

etc. ,

résultats desquels on tire € F7 ms b + bB )

°c Here 5+ ÿB°

L'application des raisonnemens faits em rite sur les fractions décimales ,: conduit facilement aux conséquences que. fournissent les expressions ci- -dessus ; et. les considérations qu'on y a développées dans le n° 97 montrent en particulier que si la fraction

B | vent nécessairement avoir des retours périodiques (*). 144. Les diverses transformations dont jé viens d’exposèr. succinctement, les. principes . se. déduisent de À équation

..88t œationnelle, les quotiens 7, a ALU ét » doi-

Êb' pe ep} à!

qu’on obtient en comparant deux fractions 3 ets g Pour

connaître leùr différence; dont Je RE est lalors exprimé par D. Ï H213 8 1°. Si l’on veut, en supposant le numérateur c = 1,

trouver pour b un nombre entier tél ÿ que-la diffé rence D soit la plus petite possible, il est visible qu'il‘ faut faire b égal au quotient dudénominateur 2 par le numérateur C; et désignant ce queen par 7, on retombe sur. l'équatièn

,2=: Ce

trouvée dt L n° 141. Traitant de même la fraction C’ 3 À les suivantes , on opérera la tranefofination indi-

quée dans ce numéro. Er À a

À Al

(*) Lagrange (Journal de l'École Phiyteckniquty 5e cahier, p. 98) prouve, par le moyen des fractions du n° 140, que plusieurs expressions, parmi lesquelles se trouve celle du nombre e (106), sont nécessairement irrationnelles, Lambert s'était déjà occupé du même sujet, et particulièrement du rapport de laïcirconférence au diamètre. (Mémoires de l’Académie de Berlin, année 1762, page 265.)

9°, Il est visible qu’en se donnant le dénominateur, on tombe sur la transformation du numéro prétéIENt 3°, Enfin si, laissant les deux termes de la fraction

5 © indéterminés , on parvenait à découvrir la plus petite valeur dont ils sont susceptibles 'en vertu de l'équation Cb — Bc = = 1

dans laubélle D est le plus petit possible, on reproduirait ,. dans un ordre inverse, les’ fractions convergentes qui résultent de la feet continue équivalente

à = Cela est évident par les équations | BA' — AB CB — BC!