DIVISION ABRÉGÉE

X. Pour trouver, à moins d’une unité entière ou décimale d’un ordre énoncé , Je quotient de la division de deux nombres entiers ou décimaux , on commence par déterminer l’ordre des plus grandes unités, et, par suite, le nombre n des chères du quotient demandé. Faisant ensuite abstraction de la virgule dans les nombres proposés , on prend sur la gauche du diviseur le plus petit nombre au moins égal à n-, ce nombre, à la droite duquel on prend encore n chiffres du diviseur, forme le premier diviseur partiel; pour former le premier dividende partiel, on prend sur la gauche du dividende le plus petit nombre tel qu’en plaçant une virgule à sa droite et une virgule à la droite du premier diviseur partiel, le premier des deux nombres décimaux ainsi formés soit au moins égal au second; divisant ce pi'emier dividende par le premier diviseur, on obtient le nombre des plus grandes unités du quotient; on prend

pour second dividende partiel le reste de la division précédente, et, pour second diviseur, le diviseur précédent privé de son dernier chiffre; et ainsi de suite jusqu'à ce qu’on ait effectué n divisions partielles ; alors on fait en sorte que le dernier chiffre du quotient exprime des unités de l 'ordre énoncé.

Soit proposé de trouver lequotientde 3,i4i5926535... par 0,69314718..., à moins de 0,001. On reconnaît immédiatement que, le quotient étant compris entre i et 10, son premier chiffre significatifexprimera des unités simples , et comme le dernier doit exprimer des millièmes, le quotient aura quatre chillVes; donc on prendra 6 p 3 i 4 pour premier diviseur, 3 i 4 i ^9 pour premier dividende , et en observant la règle précédente, on trouvera 4» 53 a pour le quotient demandé :

Démonstration. En multipliant le dividende proposé par 1 000 , on ramène la question à la recherche du quotient de 3 i 41)59... par 0,6931... à moins d’une unité; et en multipliant le nouveau dividende et le diviseur proposé par looooo , ce qui ne change pas le quotient, on est conduit à chercher, à moins d’une unité, le quotient

de 314159265, 3 ... par 69314,7 Or ce diviseur, ayant

cinq chiffres à sa partie entière et 6 pour premier chiffre, vaut au moins 60000, tandis que le quotient, n’ayant que quatre chiffres à sa partie entière, est moindre que 10000 ; donc la partie entière du diviseur excède six fois le quotient, et en prenant 69314 pour premier divi-

seur, on a augmenlé le quoliciit d’une quantité moindre que i (VII , cor. n) . La première division partielle donne

le premier chiffre 4 des mille du quotient et un reste 36903265, 3 ... qu’il faudrait diviser par 69314 pour compléter ce quotient ;maisendivisantcesdeuxnombres par 10, on ramène l’opération à la division de 3690326,5... par 6931 ,4. On voit, comme précédemment, que la partie entière 6931 de ce diviseur excède six fois le quotient; donc, en prenant 6931 pour second diviseur, on a augmenté le quotient d’une quantité moindre que g> et ainsi

de suite, jusqu’à ce qu’ayant obtenu le quotient 4532 cl le reste 3 1 ,26... , on ait augmenté le quotient d’une quantité moindre que c’est-à-dire moindre qu’une unité.

Mais, en négligeant de diviser le dernier reste 3 i ,26... par 69 , on a diminué le quotient d’une quantité moindre que l’unité; donc, en définitive, l’erreur commise sur le quotient est moindre que l’unité; et, en divisant lenombrc entier 4532 par 1000, le quotient 4, 532 sera une valeur approchée du quotient proposé à moins de 0,001.

Remarque I. La règle et la démonstration précédentes n’exigent aucune modification dans le cas particulier où un dividende partiel contient dix fois le diviseur qui lui correspond. Alors on prend 10 pour quotient partiel ; et si l’on continue d’observer la règle de la division abrégée, on reconnaît immédiatement que tous les quotients partiels suivants sont nuis. De plus, on est certain que le quotient ainsi obtenu est approché par excès ; car aucun quotient partiel ne peut exprimer plus de 9 unités dans le quotient exact, et d’aillenrs le nombre formé par les chiffres déjà écrits au quotient, avant que ce cas particulier SC soit présenté, ne peut être trop petit, puisqu’on a constamment employé des diviseurs trop petits.

Ilemarque 11. LYrrcur commise par excès sur le quotient, eu remplaçant le diviseur 6931/1,7... par sa partie entière, est égale (VII )à

oq 3 1 4

Or le quotient 453 -i,. . . est moindre que ( 4 -t- i) X looo, et la partie décimale 0,7. . . du diviseur est moindre que plus, la partie en-

tière du diviseur est au moins égale à 69000; donc l’erreur absolue du quotient est moindre que

l’erreur commise par excès sur le quotient, en remplaçant le diviseur

69 Îi ,4 par sa partie entière, est 53 a,... X on a

= ou

On voit de mémo que la troisième erreur par excès commise sur le quotient est moindre que

• X ^ = ou < •

et que la quatrième erreur par excès est moindre que

ou <

donc la somme des erreurs par excès commises sur le quotient est moindre que

et, pour que cette somme soit moindre que l’unité, il suHira que le dernier diviseur 69 soit au moins égal à la somme 3 H- i 4- /| de.s n — 1 chiilrcs suivants, augraeiitéc du dixiéme du produit (c-h 1) x (c'-+- 1), c étant le n*'^* chilVre qui suit le dernier diviseur 69, et c* le premier chiflre du quotient. On pourra donc moditicr lu règle de la division abrégée en formant le premier diviseur partiel de la manière suivante : Faisont ahstraction de la virgule dans le nombre proposé^ on marque sur la gauche du nombre qui en résulic le plus petit nombre au moias égal à lu somme des n — 1 chiffres suivanlSy augmentée du dixième du produit [c ( c' -f- i), c étant le chiffre qui suit le nombre marqué sur la gauche du diviseur, et c' le premier chiffre du quotient ; le nombre formé par les chiffres

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pri$ sur h gauche du diviseur et les n — i chij/rcs suivants sera le premier diviseur partiel. Cette tleuxû^mc rt^îlo de division abrégée, qui ne diffère de la pronnère que par la manière de former le premier diviseur partiel, a sur celle-ci l’avantage de simplifier quelquefois les divisions partielles en permettant d’employer un ou deux chiffres de moins dans chaque diviseur partiel. Ainsi , par exemple, pour obtenir, h moins de o,oi , le quotient de la division du nombre ;r = 3,1/(159. . . par log a = 0,3010299. . . , il suffira de prendre 3 oio (au lieu de $01029) pour premier diviseur (*)., Enfin la seconde règle a aussi sur la première l'avantage de faire connaitre (rem. 111 ) presque toujours le sens de rapproximation , et , par suite, les chiffres exacts du quotient demande. Mais renoncé plus simple de la pre« mière règle et sa démonstration plus élémentaire la mettant plus à la portée des élèves peu exercés, nous avons dû la préférer à la seconde*

Remarque lll. La somme des erreurs par excès commises sur le quotient est {rem. II ) moindre que ,

ou que

4 o a/| -F 4 -H 9 77 (igo , ~

On trouve de la même manière que cette somme d’erreurs est plus grande que

7X4 + 4x5- t- I x3-i-3 xa 37

De plus, l'erreur commise par défaut, en omettant do diviser le dernier

reste 3 i , j... par 69, est comprise entre ~~ et ou entre — et

Or on a ^ < — ; donc /( 53 a est une valeur approchée par defaut à moins d'une unité, et, par suite, a est le chilTre exact des unités simples.