l’erreur absolue du quotient

sera

réduisant les quotients entre parcntlièscs au même diviseur 5 X (5 -f- 3), et prenant la diHéreuee des deux ipiotieiits qui en résultent, on trouve que l’erreur absolue du

quotient est

En supposant qu’on remplace 5 par 5 — 3 ou par 2 , on trouve, de la même manière, que l’erreur absolue du quotient

ou , ce qui revient au même,

2 ". L’erreur absolue du quotient ^ étant

pu 4 X

si on la divise par on aura, pour l’erreur relative de ce quotient ,

Corollaire I. Scion que le nombre qui remplace le dwiseur est une valeur approchée par excès ou par défaut, l’erreur relative du quotient est plus petite ou plus grande que celle du diviseur.

Corollaire II. Lorsque le diviseur 7,8 étant un nombre décimal dont la partie entière 7 excède m fois le quotient, on remplace ce diviseur par sa punie entière,

l’erreur absolue du quotient est moindre que — •

Car, en supposant que 9 soit le dividende , l’erreur absolue du quotient sera ( 1 °)

mais, par hypothèse, 7 excètlc m fois le quoliciil (loue, le cinquième du quotient est un nombre moindre ‘ que — î et il en est de meme, à plus forte raison, du

produit . !

VIII. L' erreur relative d'un quotient dans lequel oji remplace le dividende par une valeur p — 2 approchée par défaut j et le diviseur par une valeur 5 H- 3 approchée par excès, est moindre que la sofnnie des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

Le quotient proposé et celui qui le remplace étant égaux respectivement aux produits

;,Xg, (9-2)x^,

on voit que chacun des facteurs 9 et g du premier produit a été remplacé par une valeur approchée par défaut; donc l’erreur relative de ce produit ou du quotient proposé est moindre que la somme des erreurs relatives de scs deux facteurs (V); or rerreur relative du facteur 9

remplacé par 9 — 2 est l’erreur relative du facteur ^ remplacé par ^ — 5 est moindre que -z ( VII , co-

rollaire I) ; donc l’erreur relative du quotient proposé est moindre que

MULTIPLICATION ABRKXiKl’..

IX. Pour trouver, à moins d’une unité entière ou décimale d’un ordre énoncé, le produit de deux noin-

hres entiers ou décimaux , on écrit , dans un ordre inverse, les chiffres du multiplicateur sous le multiplicande, de manière que le chiffre des unités simples corresponde à celui du multiplicande qui exprime des unités cent fois plus petites que celles de l'ordre énoncé^ on multiplie le multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur, à partir de la droite, en faisant abstraction des chiffres du multiplicande placés à la droite de celui qui sert de multiplicateur : on écrit chacun de ces produits partiels au-dessous du multiplicande , de manière que leurs premiers chiffres à droite soient dans la même colonne verticale; enfin, on additionne tous ces produits, considérés comme exprimant des unités cent fois plus petites que celles de l'ordre énoncé, et l’on supprime deux chiffres sur la droite du résultat, en augmentant d'une unité le dernier chiffre conservé.

F!ii appliquant cette règle au produit

dont on demande

une valeur approchée à moins d’un dixième, on trouve 85,4 pour le

produit demandé.

Démonstration. La partie du

multiplicande écrite à la droite du

premier cliinVe 2 employé comme

multiplicateur, étant moindre

qu’un dix-millième, en omettantde

la multiplier par 90, on a diminué

le produit proposé d’un nombre

moindre que 2 millièmes ; la partie du multiplicande écrite à droite

du deuxième thillrc 7 employé comme multiplicateur, étant moindre <[u’itn millième, en omettant de la muiti--

plier par 7, on a ciiiulimé le produit d un nombre moindre que 7 millièmes. Raisonnant de la même manière à l'égard des chiirres suivants employés comme multiplicateurs, on voit qu’on a successivement diminué le produit de trois nombres formant une somme moindre que (i-l-8-t-a) millièmes. Enfin, le multiplicande étant moindre que 10 , et la partie du multiplicateur écrite à sa gauche étant moindre que (84-1) dix-millièmes, eu omettant de multiplier le multiplicande par cette partie du multiplicateur, on a diminué le produit d’un nombre moindre que (8 1) millièmes; donc, en définitive, si

l’on remplaçait le produit proposé par le produit 85,385 obtenu précédemment , on aurait diminué le premier produit d’un nombre moindre que ( 2 -I-7-4- 1 -1-8-)- 2 -)-8-t- 1 ) millièmes, ou, plus généralement, d’un nombre moindre que 101 millièmes, en supposant que 2-+-7-)-i-f-8-|-2-|-8 n’excède pas le nombre 100. De plus, si après avoir supprimé les deux premiers chifiies à droite du nombre 85 , 385 , on le remplaçait par le nombre 85 , 3 , on diminuerait encore le produit proposé de 85 millièmes, c’est-à-dire d’un nombre qui ne peut excéder 99 millièmes; donc , la diminution totale du produit proposé serait moindre que (toi -h 99) millièmes ou que 2 dixièmes ; donc, enfin, si l’on ajoute 1 dixième à 85 , 3 , le résultat 85,4 et le produit proposé diiléreront entre eux d’une quantité égale à la difl’érencc entre i dixième et un nombre moindre que 2 dixièmes, c’est-à-dire d’un nombre moindre qu’un dixième.

Remarque. La règle précédente, connue sous le nom de règle d’Onghtred, suppose le cas très-général où la somme des chi lires employés au multiplicateur, augmentée du premier des chiffres négligés, n’cxcèdc pas 100. Dans le cas où cette somme serait comprise entre 100 et 1001, on verrait facilement qu'il sullirait de modifier

la règle cl’Onghlred , en écrivant le cliiflre des unités simples du multiplicateur sous celui qui exprime des unités raille fois plus petites que celles de l’ordre énoncé , puis en supprimant trois chiffres au lieu de deux, sur la droite du produit obtenu. Mais si cette même somme n’excédait pas i o , il suffirait de placer le chiffre des unités simples du multiplicateur sous celui qui exprimerait des unités dix fois moindres que celles de l’ordre énoncé , et alors on supprimerait un seul chiffre à la droite du produit obtenu. Enfin, il est utile d’observer qu’en intervertissant l’ordre des deux facteurs proposés , on obtiendrait la même valeur approchée, d’où il résulte qu’on pourra substituer à la limite précédente la somme des chiffres du multiplicande, jusqu’à celui qui suit immédiatement le premier chiffre à droite du multiplicateur renversé.