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Mais R étant le nombre des cbifTres do a ou de a\ les nombres r et a ^ ont, par hypothèse, plus de ^ chiffres communs a partir de la çauche; donc U

différence a — contient un nombre déchiffrés moindre que tandis

que la partie entière de V" en contient - ou — ^ — » suivant que n est pair

ou impair; donc on a

et, par suite,

> rt — a\

Cela étant, si l’on extrait la racine carrée de a' à moins d’une unité par excès, l’erreur définitive de la racine carrée de a sera moindre qu’une unité.

XII. Pour trouver la racine cubique d’un nombre entier a à mt)ins d’une unité, il suffit d’employer plus du tiers de ses chiffres a partir de la pauche, en remplaçant tous les autres par des zéros; puis d’extraire , à moins d’une unité par excès, la racine cubique du nombre a' ainsi obtenu.

Dési(;nant par e l’erreur absolue de la racine cubique de a, remplacée par celle de a\ on a \

y a = y il 4- c ,

et, par suite,

rt > a' 4- 3 c ( V )*;

d’où l’on tire

Mais le nombre des chiffres de a ou a* étant exprimé j>ar 3 r, 3 r n- i , ou 3 R 4~ 3 , le nombre des chiffres communs à a et a\ à partir de la (jauche , est R 4- 1 ; donc le nombre des chiffres de r — a' ser.a an — i dans le premier cas, 3 R dans le deuxième, et 3 r-i 1 dans le troisième. Dc]dus,a' ronienant 3r, 3r i i ou 3«4-i chiffres, la partie entière de sa racine

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cubique en contient n dans le premier cas, avec un premier chinVc au moins éj^al à 4 ; cette partie cntièi^e en contient n -f- 1 dans le deuxième cas, et n-h I dans le troisième avec un premier cbilTre au moins égal à 3; donc celle racine excède 4 X dans le premier cas, elle est au moins égale à lo" dans le deux'ème, et elle excède ax lo' dans le troisième; donc le carré de cette racine excède 16 X et, h plus forte raison,

ïo’^“' dans le premier cas; ce carréjcst au moins égal à îo*'' dans le deuxième cas, il excède 4 X dans le troisième, son triple excède 12X 10^, et, h plus forte raison, donc, dans les doux premiers

cas, le cube de la racine cubique de a' excède a — a', et, par suite, on a

c < J ; dans le troisième cas , le triple carré de cette racine excède a — a%

et l'on a e<^ 1. Cela étant, si Ton extrait la racine cubique de a' à moins d'une unité par excès, l’orreur définitive de la racine cubique de a sera moindre qu'une unité.

Remarque. Ces deux principes (XI et XII) que nous avons généralisés dans nos Compléments d’arithmétique (* ), permettent souvent d’abréger d'une manière sensible la recherche d’une valeur approchée de la racine carrée ou cubique d’un nombre qui n’est pas donné expUcilement. 8 ’il s'agissait, par exemple, d’extraire la racine cubique du carré de t à moins ' d’un centième, au lieu de calculer d’abord la valeur de 71’ approchée avec six décimales exactes, U suflirait d’en calculer la partie onlicro et les deux premières décimales, en remplaçant les quatre autres par des zéros.