LIVRE II

des sixièmes et le reste 10 sixièmes ou 100 trente sixièmes ; divisant 100 par 20 , on obtient le quotient 3 qui exprime des trente sixièmes et un reste nul; de sorte que le quotient demandé est 2,23 ou 2+|+^.

On voit qu’en général, la règle à suivre pour résoudre le problème proposé, est analogue à celle qu’on a donnée pour réduire une fraction en décimales (ar.liv. 3).

Remarque. Lorsque le dénominateur de la fraction proposée ne contient que les facteurs premiers de la base b, le quotient se termine , ainsi que cela a lieu dans l’exemple proposé où le dénominateur 20 ne contient que les facteurs premiers 2 et 3 de 6 (ar. liv. 3, pr.29). Lorsque, la fraction étant irréductible, son dénominateur est premier avec la base, le quotient est périodique simple (ar.liv. 3, pr.31). Enfin , lorsque le dénominateur contient des facteurs premiei’s de la base avec d’autres facteurs premiers , le quotient est périodique mixte (ar.liv. 3, pr. 32).

PROPOSITION XII

Le nombre des divisions à faire pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers ne peut excéder cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres proposés.

Soient  et B les deux nombres proposés , t) leur plus grand commun diviseur. Si l’on divise  et B par I) et qu’on cherche le plus grand commun diviseur des quotients ainsi obtenus, on effectuera le môme nombre de divisions que pour trouver celui des nombres A et B (liv. 2, pr. 12); or ces quotients sont premiers entre eux (liv. 2,pr. 16); donc dans la recherche d’une limite du nombre de ces divisions, on peut supposer que le plus grand commun diviseur D est égal à l’unité. Cela posé, soient

40 COMPLÉMENT d’aRITHUÉTIQDE.

tous les nombres qui ont servi successivement de diviseur. Si l’on considère trois diviseurs consécutifs tels que D^,

Dj, le troisième sera le reste de la division du premier par le second ; donc le premier est au moins égal à la somme des deux autres : mais est au moins égal à 2, donc 1)^ est au moins égal à 3 ; pareillement, est au moins égal à 5, Dj au moins égal à 8, au moins égal à 13 et au moins égal à 21 ; donc on a

0) D>10 et I)>10x2;

d’où l’on déduit

Dg>10x3, Dg>10x5, 1)^,>10X8,

et, à plus forte raison,

Or, de même que les inégalités (i) ont conduit aux inégalités (3), celles-ci conduiront à

ou à

et ainsi de suite, en supposant que le nombre des diviseurs intermédiaires soit constamment égal à 3; donc on a généralement

n étant un nombre entier. Mais, 10 étant la base du système dans lequel on opère, 10" contient n + 1 chiffres; d’ailleurs 5>H- 1 est le nombre total des divisions effectuées, lorsqu'on prend Dsn+i pour premier diviseur ou pour le plus petit B des deux nombres proposés; donc, lorsqu’on