UVRE II

un multiple de , plus un ; par la même raison 6“x 6 ou ô’ est égal à un multiple de d, augmenté de 6, ou à un multiple de d, plus un , et ainsi de suite jusqu’à b"-* ; donc N est égal à un multiple de d, augmenté de la somme +Aj + Aj+... + A^ de ses chiffres considérés comme exprimant des unités simples; d’où l’on conclut, comme dans le cas où 6=10 (liv.2, pr.3), celte règle générale : pour avoir le reste de la division d'un nombre écrit dans le système dont la base est b, par b— 1, o» fait la somme de ses chiffres considérés comme exprimant des unités simples; on opère sur celte somme comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un résultat qui n'excède pas b— 1 ; lorsque ce résultat est égal à b— 1 , le reste demandé est nul; lorsque ce résultat est moindre que b— 1, il exprime le reste demandé.

2° Le diviseur d étant égal à 6+1, on a d— 6=1, 6=d— 1 et, par suite, 6x6 ou 6“=d6— 6; donc 6* étant égal à un multiple de d, diminué de 6 , est aussi égal à un multiple de d, augmenté de d— 6(pr. 9) ou d’une unité, . donc 6* X 6 ou 6’ est égal à un multiple de d, augmenté de 6 ou diminué de d— 6 (pr.9) ou à un multiple de d, diminué d’une unité, et ainsi de suite; donc chacune des puissances 6®, 6*, 6‘... de degré pair est égale à un multiple de d, augmenté d’une unité, tandis que chacune des puissances 6, 6®, 6‘... de degré impair est égale à un multiple de d, diminué d’une unité. Il en résulte que N est égal à un multiple de d, +A^— Aj+A^— A^..., ou à un multiple de d, augmenté de l’excès (Aj + Aj+Aj^...)— (A^+A^ + A^j...) de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite sur celle des chiffres de rang pair, en supposant qu’on augmente, si cela est nécessaire, la première somme d’un multiple de d, pour la rendre au moins égale à la seconde; donc le reste de la division de cette différence , par d , est égala celui de la division de N par d (ar. liv. 1, pr.21, cor.l), ce qui conduit à cette règle générale : pour avoir le reste de la division dun nombre écrit dans le système dont la base est

COMPLÉMENT d’aRITHUÉTIQUE.

b, par b + 1 , 0 » fait la somme de ses chiffres de rang impair, puis celle de ses chiffres de rang pair, à partir de la droite; on soustrait la seconde somme de la première augmentée , si cela est nécessaire, d’un multiple de (b + 1) ; on opère sut' le reste comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite jusqu à ce qu'on obtienne un reste moindre çue b + 1.

Remarque 1. Cette dernière règle est applicable à la recherche du reste de la division, par 11, d’un nombre entier écrit dans le système décimal. Des raisonnements, analogues à ceux qu’on vient de faire pour l’établir, conduiraient à des méthodes particulières pour trouver le reste de la division d’un nombre entier écrit dans le système décimal, par un des nombres 6, 7, 12, 13...; mais ces méthodes, moins simples que le procédé direct de la division , ne sont d’aucune utilité.

Remarque 2. Les preuves, par b—i et par b + \, des quatre opérations sur les nombres entiers écrits dans le système dont la base est b (pr. 3, 4.,5,6) s’effectuent comme les preuves par 9 et par 11, dans le système décimal (liv.2, pr. 6,7, 8, 9).

PROPOSITION XI

Mettre une fraction écrite dans le système dont la base est b sous la forme d’un nombre entier et départies aliquoles de l’unité de h en h fois plus petites que l’unité.

Soit, par exemple , la fraction ^ écrite dans le système dont la base est 6.

En divisant 45 par 20 (pr. 6), on obtient le quotient 2 qui exprime des unités, et le reste 5 unités ou 50 sixièmes; divisant 50 par 20, on obtient le quotient 2 qui exprime